Решите неравенство: 1) x²+2x-3< 0; 2) 2x² + 6x ≥ 0; 3) x² < 9; 4) x²-8x+16 > 0. Решите систему уравнений [x + 3y = 5, 4y + xy = 6. Найдите область определения функции: 1) y = √3x-x²; 2) y = 4/√4-8x-5x2 Решите графически систему уравнений Sy = x² + 2x, y-x = 2. Из двух городов, расстояние между которыми равно 25 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 1 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велоси- педиста, если один из них проезжает 30 км на 1 ч быстрее другого. Решите систему уравнений 4x2+4xy + y² = 25, 2x - y = 3.

Предварительный анализ

Предмет: Математика

Класс: 9-11

1. Решите неравенство:

1) x² + 2x - 3 < 0

Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения x² + 2x - 3 = 0.

Дискриминант D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16. Корни: x₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1, x₂ = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3.

Неравенство x² + 2x - 3 < 0 выполняется между корнями, то есть -3 < x < 1.

Ответ: -3 < x < 1

2) 2x² + 6x ≥ 0

Вынесем общий множитель: 2x(x + 3) ≥ 0.

Корни: x₁ = 0, x₂ = -3.

Решением неравенства являются промежутки x ≤ -3 и x ≥ 0.

Ответ: x ≤ -3 или x ≥ 0

3) x² < 9

Это равносильно -3 < x < 3.

Ответ: -3 < x < 3

4) x² - 8x + 16 > 0

Заметим, что x² - 8x + 16 = (x - 4)².

Тогда (x - 4)² > 0 выполняется для всех x ≠ 4.

Ответ: x ≠ 4

2. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 4y + xy = 6 \end{cases}\]

Из первого уравнения: x = 5 - 3y. Подставим во второе уравнение: 4y + (5 - 3y)y = 6, 4y + 5y - 3y² = 6, 3y² - 9y + 6 = 0, y² - 3y + 2 = 0.

Корни: y₁ = 1, y₂ = 2. Если y = 1, то x = 5 - 3 * 1 = 2. Если y = 2, то x = 5 - 3 * 2 = -1.

Ответ: (2, 1) и (-1, 2)

3. Найдите область определения функции:

1) y = √(3x - x²)

Область определения: 3x - x² ≥ 0, x(3 - x) ≥ 0. Корни: x₁ = 0, x₂ = 3.

Решением является промежуток 0 ≤ x ≤ 3.

Ответ: 0 ≤ x ≤ 3

2) y = 4 / √(4 - 8x - 5x²)

Область определения: 4 - 8x - 5x² > 0, 5x² + 8x - 4 < 0.

Найдем корни уравнения 5x² + 8x - 4 = 0. D = 8² - 4 * 5 * (-4) = 64 + 80 = 144.

Корни: x₁ = (-8 + √144) / 10 = (-8 + 12) / 10 = 4 / 10 = 0.4, x₂ = (-8 - √144) / 10 = (-8 - 12) / 10 = -2.

Решением неравенства является промежуток -2 < x < 0.4.

Ответ: -2 < x < 0.4

4. Решите графически систему уравнений:

\[\begin{cases} y = x² + 2x \\ y - x = 2 \end{cases}\]

Из второго уравнения: y = x + 2. Подставим в первое уравнение: x + 2 = x² + 2x, x² + x - 2 = 0.

Корни: x₁ = 1, x₂ = -2. Если x = 1, то y = 1 + 2 = 3. Если x = -2, то y = -2 + 2 = 0.

Ответ: (1, 3) и (-2, 0)

5. Задача про велосипедистов

Пусть v₁ и v₂ - скорости велосипедистов. Расстояние между городами 25 км. Время встречи - 1 час.

Тогда v₁ + v₂ = 25.

Один из них проезжает 30 км на 1 час быстрее другого, значит, разница в их скоростях 30 км/ч - это невозможно, так как тогда один из них должен ехать в отрицательном направлении. Скорее всего имеется ввиду что один из них проедет 30 км на 1 час быстрее другого, или на 1 час позднее, то есть:

\[\frac{30}{v_1} - \frac{30}{v_2}=1\]

Надо уточнить условие задачи - скорее всего, что время, которое он тратит на 30 км, на 1 час меньше, чем время другого.

Ответ: Требуется уточнение условия задачи.

6. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 4x² + 4xy + y² = 25 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\]

Из второго уравнения: y = 2x - 3. Подставим в первое уравнение: 4x² + 4x(2x - 3) + (2x - 3)² = 25, 4x² + 8x² - 12x + 4x² - 12x + 9 = 25, 16x² - 24x - 16 = 0, 2x² - 3x - 2 = 0.

Корни: x₁ = 2, x₂ = -0.5. Если x = 2, то y = 2 * 2 - 3 = 1. Если x = -0.5, то y = 2 * (-0.5) - 3 = -4.

Ответ: (2, 1) и (-0.5, -4)

Ответ: Решения выше

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!