Решите неравенство: logs (2x - 1) ≤ 2

Решение:

Дано неравенство: \( \log_5(2x - 1) \le 2 \).

1. Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля. \( 2x - 1 > 0 \) \(\implies\) \( 2x > 1 \) \(\implies\) \( x > \frac{1}{2} \).
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 5: \( 2 = \log_5(5^2) = \log_5(25) \).
3. Теперь неравенство выглядит так: \( \log_5(2x - 1) \le \log_5(25) \).
4. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), функция \( y = \log_5(x) \) возрастает. Следовательно, мы можем сравнить аргументы, сохранив знак неравенства: \( 2x - 1 \le 25 \).
5. Решим полученное линейное неравенство: \( 2x \le 25 + 1 \) \(\implies\) \( 2x \le 26 \) \(\implies\) \( x \le 13 \).
6. Объединим решение с ОДЗ: \( x > \frac{1}{2} \) и \( x \le 13 \).
7. Запишем ответ в виде интервала: \( (\frac{1}{2}; 13] \).

Ответ: \( (\frac{1}{2}; 13] \).