Решите неравенство: log ₁ (26-13x) < log ₁ (x²-3x+2)+log ₁ (x+7). 2 2 2

Решение:

Решим неравенство \( \log_{1/2} (26-13x) < \log_{1/2} (x^2-3x+2) + \log_{1/2} (x+7) \).

Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ):

• \( 26-13x > 0 \) \( \Rightarrow 13x < 26 \) \( \Rightarrow x < 2 \)
• \( x^2-3x+2 > 0 \) \( \Rightarrow (x-1)(x-2) > 0 \) \( \Rightarrow x < 1 \) или \( x > 2 \)
• \( x+7 > 0 \) \( \Rightarrow x > -7 \)

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( -7 < x < 1 \).

Теперь преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

\( \log_{1/2} (26-13x) < \log_{1/2} ((x^2-3x+2)(x+7)) \)

Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), при раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:

\( 26-13x > (x^2-3x+2)(x+7) \)

\( 26-13x > x^3 + 7x^2 - 3x^2 - 21x + 2x + 14 \)

\( 26-13x > x^3 + 4x^2 - 19x + 14 \)

\( x^3 + 4x^2 - 19x + 14 + 13x - 26 < 0 \)

\( x^3 + 4x^2 - 6x - 12 < 0 \)

Для решения кубического неравенства попробуем найти корни многочлена \( P(x) = x^3 + 4x^2 - 6x - 12 \).

Подставим \( x = -2 \): \( (-2)^3 + 4(-2)^2 - 6(-2) - 12 = -8 + 4(4) + 12 - 12 = -8 + 16 = 8 \) (не корень).

Подставим \( x = -6 \): \( (-6)^3 + 4(-6)^2 - 6(-6) - 12 = -216 + 4(36) + 36 - 12 = -216 + 144 + 36 - 12 = -48 \) (не корень).

Попробуем найти целочисленные корни многочлена. Возможные корни — делители свободного члена \( -12 \): \( ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 \).

Подставим \( x = -2 \): \( (-2)^3 + 4(-2)^2 - 6(-2) - 12 = -8 + 16 + 12 - 12 = 8 \).

Подставим \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 4(-1)^2 - 6(-1) - 12 = -1 + 4 + 6 - 12 = -3 \).

Подставим \( x = 2 \): \( 2^3 + 4(2)^2 - 6(2) - 12 = 8 + 16 - 12 - 12 = 0 \). Значит, \( x = 2 \) — один из корней.

Разделим многочлен \( x^3 + 4x^2 - 6x - 12 \) на \( (x-2) \) столбиком или по схеме Горнера.

   | 1   4   -6   -12
2  |     2   12    12
------------------
    1   6    6     0

Получаем \( (x-2)(x^2+6x+6) = 0 \).

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2+6x+6=0 \):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 \]

\[ x = \frac{-6 ± \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 ± 2\sqrt{3}}{2} = -3 ± \sqrt{3} \]

Корни кубического уравнения: \( x = 2 \), \( x = -3 - \sqrt{3} \approx -4.73 \), \( x = -3 + \sqrt{3} \approx -1.27 \).

Таким образом, неравенство \( x^3 + 4x^2 - 6x - 12 < 0 \) имеет вид \( (x-2)(x - (-3-\sqrt{3}))(x - (-3+\sqrt{3})) < 0 \).

Рассмотрим знаки интервалов:

• \( x < -3-\sqrt{3} \) : (-) \(\cdot\) (-) \(\cdot\) (-) = (-) \( \Rightarrow \) отрицательно
• \( -3-\sqrt{3} < x < -3+\sqrt{3} \) : (-) \(\cdot\) (+) \(\cdot\) (-) = (+) \( \Rightarrow \) положительно
• \( -3+\sqrt{3} < x < 2 \) : (-) \(\cdot\) (+) \(\cdot\) (+) = (-) \( \Rightarrow \) отрицательно
• \( x > 2 \) : (+) \(\cdot\) (+) \(\cdot\) (+) = (+) \( \Rightarrow \) положительно

Неравенство \( x^3 + 4x^2 - 6x - 12 < 0 \) выполняется при \( x < -3-\sqrt{3} \) или \( -3+\sqrt{3} < x < 2 \).

Теперь учтём ОДЗ: \( -7 < x < 1 \).

Пересечение интервалов:

• \( (-7, 1) \) \( ∩ \) \( (-\infty, -3-\sqrt{3}) \) \( \Rightarrow \) \( -7 < x < -3-\sqrt{3} \)
• \( (-7, 1) \) \( ∩ \) \( (-3+\sqrt{3}, 2) \) \( \Rightarrow \) \( -3+\sqrt{3} < x < 1 \)

Объединяя полученные интервалы, имеем:

\( -7 < x < -3-\sqrt{3} \) или \( -3+\sqrt{3} < x < 1 \).

Ответ: \( (-7; -3-\sqrt{3}) \cup (-3+\sqrt{3}; 1) \).