Решите неравенство log 1 (25-25x)log(x²-4x+3)+log1(x+7).

Решение:

1. Определим ОДЗ (область допустимых значений):
   • 25 - 25x > 0
   • x² - 4x + 3 > 0
   • x + 7 > 0
2. Решим первое неравенство:

   25 - 25x > 0

   -25x > -25

   x < 1

3. Решим второе неравенство:

   x² - 4x + 3 > 0

   (x - 1)(x - 3) > 0

   Это выполняется, когда x < 1 или x > 3

4. Решим третье неравенство:

   x + 7 > 0

   x > -7

5. Учитывая все условия ОДЗ:

   -7 < x < 1

6. Преобразуем правую часть неравенства:

   \[\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 4x + 3) + \log_{\frac{1}{5}}(x + 7) = \log_{\frac{1}{5}}((x^2 - 4x + 3)(x + 7))\]

7. Исходное неравенство принимает вид:

   \[\log_{\frac{1}{5}}(25 - 25x) < \log_{\frac{1}{5}}((x^2 - 4x + 3)(x + 7))\]

   Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный:

   25 - 25x > (x² - 4x + 3)(x + 7)

   25 - 25x > x³ + 7x² - 4x² - 28x + 3x + 21

   25 - 25x > x³ + 3x² - 25x + 21

8. Приведем к виду:

   x³ + 3x² > -4 > 0

   (x - 1)(x² + 4x + 4) > 0

   (x - 1)(x + 2)² > 0

9. Решим неравенство методом интервалов:

   x = 1 или x = -2

   Учитывая, что (x + 2)² всегда положительно (кроме x = -2), решение:

   x > 1

10. С учетом ОДЗ:

    -7 < x < 1

    x > -7

11. Решением будет объединение интервалов:

    x ∈ (-7; -6) ∪ (1; 1,2) ∪ (1,2; 1,4)