Решение неравенства:

Для решения неравенства (4x-1)(x+2) < 1-4x, выполним следующие шаги:

1. Раскрываем скобки:

$$4x^2 + 8x - x - 2 < 1 - 4x$$

2. Приводим подобные слагаемые и переносим все в левую часть:

$$4x^2 + 7x - 2 - 1 + 4x < 0$$

$$4x^2 + 11x - 3 < 0$$

3. Решаем квадратное уравнение 4x² + 11x - 3 = 0:

Для решения квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:

$$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3$$

4. Определяем интервалы и знаки неравенства:

Корни уравнения: x₁ = 1/4 и x₂ = -3.

Рассмотрим интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 1/4)
• (1/4, +∞)
5. Подставляем значения из каждого интервала в неравенство 4x² + 11x - 3 < 0:
• Для x = -4 (из интервала (-∞, -3)):

$$4(-4)^2 + 11(-4) - 3 = 4(16) - 44 - 3 = 64 - 44 - 3 = 17 > 0$$

• Для x = 0 (из интервала (-3, 1/4)):

$$4(0)^2 + 11(0) - 3 = -3 < 0$$

• Для x = 1 (из интервала (1/4, +∞)):

$$4(1)^2 + 11(1) - 3 = 4 + 11 - 3 = 12 > 0$$

6. Определяем интервал, где неравенство меньше нуля:

Неравенство выполняется на интервале (-3, 1/4).

Ответ: x ∈ (-3; 1/4)