Решите неравенство: х+2/x > 3.

Решим неравенство: $$x + \frac{2}{x} \ge 3$$. Перенесем все в левую часть: $$x + \frac{2}{x} - 3 \ge 0$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \ge 0$$ Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 3x + 2 = 0$$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ Таким образом, числитель раскладывается на множители как $$(x - 1)(x - 2)$$. Исходное неравенство можно переписать в виде: $$\frac{(x - 1)(x - 2)}{x} \ge 0$$ Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: 0, 1, 2.

      +       -       +       -
----(2)-----(1)-----(0)-----> x

Интервалы знакопостоянства: $$(-\infty; 0)$$, $$(0; 1)$$, $$(1; 2)$$, $$(2; +\infty)$$. Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $$(0; 1] \cup [2; +\infty)$$. Ответ: (0; 1] ∪ [2; +∞)