Решите неравенство (х2 + x 30)(x²+x-12) ≤ 0

Решение неравенства

Для решения данного неравенства разложим каждый множитель на множители:

1. Разложим первый множитель \( x^2 + x - 30 \). Найдем корни уравнения \( x^2 + x - 30 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 \). Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = -6 \). Таким образом, \( x^2 + x - 30 = (x - 5)(x + 6) \).
2. Разложим второй множитель \( x^2 + x - 12 \). Найдем корни уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни: \( x_3 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \) и \( x_4 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \). Таким образом, \( x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \).

Теперь исходное неравенство выглядит так: \( (x - 5)(x + 6)(x - 3)(x + 4) ≤ 0 \).

Найдем корни каждого множителя и отметим их на числовой прямой:

\( x = 5, x = -6, x = 3, x = -4 \).

Расставим знаки на интервалах, полученных после разбиения числовой прямой:

• Интервал \( (-∞, -6) \): все множители отрицательны, произведение положительно.
• Интервал \( (-6, -4) \): \( (x+6) \) положительный, остальные отрицательные. Произведение отрицательно.
• Интервал \( (-4, 3) \): \( (x+6) \) и \( (x+4) \) положительные, \( (x-3) \) и \( (x-5) \) отрицательные. Произведение положительно.
• Интервал \( (3, 5) \): \( (x+6), (x+4), (x-3) \) положительные, \( (x-5) \) отрицательный. Произведение отрицательно.
• Интервал \( (5, +∞) \): все множители положительны, произведение положительно.

Нам нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю. Это происходит на интервалах \( (-6, -4) \) и \( (3, 5) \). Так как неравенство нестрогое (≤), включаем концы интервалов.

Ответ: \( [-6; -4] ∪ [3; 5] \).