Решите неравенство (х²+x-20)(x²-10x+24) ≥ 0.

Решение:

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители:

1. \( x^2 + x - 20 \): Корни уравнения \( x^2 + x - 20 = 0 \) находим по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -20 \). Получаем \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -5 \). Тогда \( x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \).
2. \( x^2 - 10x + 24 \): Корни уравнения \( x^2 - 10x + 24 = 0 \) находим по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10 \), \( x_1 x_2 = 24 \). Получаем \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 6 \). Тогда \( x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6) \).

Теперь неравенство выглядит так: \( (x - 4)(x + 5)(x - 4)(x - 6) \) ≥ 0, или \( (x + 5)(x - 6)(x - 4)^2 \) ≥ 0.

Метод интервалов:

1. Отметим на числовой прямой корни: -5, 4, 6.
2. \( (x - 4)^2 \) всегда больше или равно 0.
3. Рассмотрим знак выражения \( (x + 5)(x - 6) \) при \( x \) ≠ 4.
4. Если \( x > 6 \), то \( (x + 5) > 0 \) и \( (x - 6) > 0 \), произведение положительное.
5. Если \( 4 < x < 6 \), то \( (x + 5) > 0 \) и \( (x - 6) < 0 \), произведение отрицательное.
6. Если \( x < -5 \), то \( (x + 5) < 0 \) и \( (x - 6) < 0 \), произведение положительное.
7. Если \( -5 < x < 4 \), то \( (x + 5) > 0 \) и \( (x - 6) < 0 \), произведение отрицательное.

Учитывая, что \( (x - 4)^2 \) ≥ 0, получаем:

• На интервале \( (-\infty; -5] \) выражение ≥ 0.
• На интервале \( (-5; 4) \) выражение ≤ 0.
• При \( x = 4 \) выражение = 0.
• На интервале \( (4; 6) \) выражение ≤ 0.
• На интервале \( [6; \infty) \) выражение ≥ 0.

Объединяя, получаем, что неравенство выполняется при \( x \) ∈ \( (-\infty; -5] \) ∪ \( [6; \infty) \) ∪ \( \{4\} \).

Это можно записать как \( (-\infty; -5] \) ∪ \( [6; \infty) \).

Ответ: \( x \) ∈ \( (-\infty; -5] \) ∪ \( [6; \infty) \).