Решите неравенство: х³ + 6x² + \frac{-8x²+4x+16}{x+4} \leqslant 4.

Давай решим это неравенство по шагам. Прежде всего, перенесем все члены в левую часть неравенства:\[x^3 + 6x^2 + \frac{-8x^2 + 4x + 16}{x+4} - 4 \leqslant 0\] Теперь приведем все к общему знаменателю:\[\frac{(x^3 + 6x^2)(x+4) - 8x^2 + 4x + 16 - 4(x+4)}{x+4} \leqslant 0\] Раскроем скобки в числителе:\[\frac{x^4 + 4x^3 + 6x^3 + 24x^2 - 8x^2 + 4x + 16 - 4x - 16}{x+4} \leqslant 0\] Приведем подобные члены в числителе:\[\frac{x^4 + 10x^3 + 16x^2}{x+4} \leqslant 0\] Вынесем общий множитель в числителе:\[\frac{x^2(x^2 + 10x + 16)}{x+4} \leqslant 0\] Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 10x + 16 = 0\) через дискриминант:\[D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36\]\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 6}{2} = -2\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 6}{2} = -8\] Таким образом, \(x^2 + 10x + 16 = (x+2)(x+8)\), и наше неравенство принимает вид:\[\frac{x^2(x+2)(x+8)}{x+4} \leqslant 0\] Найдем нули числителя и знаменателя:\[x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\]\[x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\]\[x+8 = 0 \Rightarrow x = -8\]\[x+4 = 0 \Rightarrow x = -4\] Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале.

-------------------------------------------------------------------
                                                                   
        -8        -4         -2         0                         
----o--------o--------o--------o-------->                          
     -        +        -        +        +                        
                                                                   
-------------------------------------------------------------------

Интервалы, где выражение меньше или равно нулю: \((-\infty; -8] \cup [-4; -2] \cup \{0\}\).

Ответ: \[(-\infty; -8] \cup (-4; -2] \cup \{0\}\]

Ты проделал отличную работу, и я уверена, что у тебя все получится! Продолжай в том же духе!