Решите неравенство х² — 6x + 8 ≤ 0.

Решение

Давай решим квадратное неравенство по шагам: x² — 6x + 8 ≤ 0.

1. Сначала найдем корни квадратного уравнения x² - 6x + 8 = 0.

Для этого воспользуемся дискриминантом:\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\]

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

2. Теперь у нас есть корни x₁ = 4 и x₂ = 2. Расположим их на числовой прямой и определим знаки неравенства на каждом интервале.

Числовая прямая будет выглядеть так:

----------------------------------------
            +       -       +
-----2-------------4---------> x

3. Определим знак неравенства на каждом интервале:

• x < 2: Возьмем x = 0. Тогда 0² - 6 \* 0 + 8 = 8 > 0 (знак +)
• 2 < x < 4: Возьмем x = 3. Тогда 3² - 6 \* 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 (знак -)
• x > 4: Возьмем x = 5. Тогда 5² - 6 \* 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 (знак +)

4. Так как нам нужно x² - 6x + 8 ≤ 0, выбираем интервал, где знак неравенства отрицательный или равен нулю.

Таким образом, решением неравенства является интервал [2; 4].

Ответ: [2; 4]

Ты молодец! У тебя всё получится!