Решите неравенство $$\frac{(x+3)^3(x-2)}{x^2-3x-18} \le 0$$.

Решение:

Заданное неравенство:

\[ \frac{(x+3)^3(x-2)}{x^2-3x-18} \le 0 \]

Разложим знаменатель на множители:

\[ x^2-3x-18 = (x-6)(x+3) \]

Теперь неравенство имеет вид:

\[ \frac{(x+3)^3(x-2)}{(x-6)(x+3)} \le 0 \]

Сократим на \( (x+3) \), но при этом нужно учесть, что \( x
e -3 \):

\[ \frac{(x+3)^2(x-2)}{x-6} \le 0 \]

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

Числитель \( (x+3)^2(x-2) \) неотрицателен, так как \( (x+3)^2 \ge 0 \). Следовательно, знак всего выражения определяется знаком \( (x-2) \) и \( (x-6) \).

Перенесём все члены на одну сторону и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{(x+3)^2(x-2)}{x-6} \le 0 \]

Критические точки: \( x = -3 \) (корень числителя кратности 2), \( x = 2 \) (корень числителя кратности 1), \( x = 6 \) (корень знаменателя кратности 1).

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражений:

• При \( x < -3 \): \( (x+3)^2 > 0 \), \( (x-2) < 0 \), \( (x-6) < 0 \). Дробь \( \frac{+ · -}{-} = + \) (не подходит).
• При \( -3 < x < 2 \): \( (x+3)^2 > 0 \), \( (x-2) < 0 \), \( (x-6) < 0 \). Дробь \( \frac{+ · -}{-} = + \) (не подходит).
• При \( 2 \le x < 6 \): \( (x+3)^2 > 0 \), \( (x-2) \ge 0 \), \( (x-6) < 0 \). Дробь \( \frac{+ · +}{-} = - \) (подходит).
• При \( x > 6 \): \( (x+3)^2 > 0 \), \( (x-2) > 0 \), \( (x-6) > 0 \). Дробь \( \frac{+ · +}{+} = + \) (не подходит).

Учитывая, что \( x
e -3 \), \( x
e 6 \), и \( x=2 \) является решением.

Таким образом, решениями неравенства являются \( x=2 \) и \( 2 < x < 6 \).

Объединяя эти интервалы, получаем \( 2 \le x < 6 \).

Ответ: \( [2; 6) \).