Решите неравенство \(\frac{(x+3)^2(x-4)}{x^2-x-12}\ge 0\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители. Квадратный трехчлен \(x^2-x-12\) имеет корни \(x = \frac{1 + √{(-1)^2 - 4(1)(-12)}}{2} = \frac{1 + √{1 + 48}}{2} = \frac{1 + 7}{2}\). Корни: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -3\). Следовательно, \(x^2-x-12 = (x-4)(x+3)\).
2. Шаг 2: Подставим разложенный знаменатель в неравенство: \(\frac{(x+3)^2(x-4)}{(x-4)(x+3)} > 0\).
3. Шаг 3: Сократим множители, учитывая, что \(x ≠ 4\) и \(x ≠ -3\) (так как знаменатель не может быть равен нулю). После сокращения получаем \((x+3) > 0\).
4. Шаг 4: Решим полученное неравенство: \(x > -3\).
5. Шаг 5: Учитываем ограничения из Шага 3: \(x ≠ 4\) и \(x ≠ -3\).
6. Шаг 6: Объединяем решение и ограничения. Интервал \(x > -3\) с исключением \(x = 4\) дает решение \((-3, 4) ∪ (4, ∞)\).

Ответ: \((-3, 4) ∪ (4, ∞)\)