Решите неравенство: \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0 \)

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0 \) сначала найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
По теореме Виета, \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \).

Знаменатель: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
По теореме Виета, \( x_3 = 2 \), \( x_4 = 3 \).

Таким образом, получаем дробь \( \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)} \). Обратите внимание, что \( x
e 2 \) и \( x
e 3 \) (знаменатель не может быть равен нулю).

Сокращаем дробь, учитывая, что \( x
e 2 \): \( \frac{x-1}{x-3} \).

Теперь решаем неравенство \( \frac{x-1}{x-3} \ge 0 \).

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

• Числитель \( x-1 \): \( x-1 \ge 0 \) при \( x \ge 1 \), \( x-1 < 0 \) при \( x < 1 \).
• Знаменатель \( x-3 \): \( x-3 > 0 \) при \( x > 3 \), \( x-3 < 0 \) при \( x < 3 \).

Составим таблицу знаков:

Неравенство \( \frac{x-1}{x-3} \ge 0 \) выполняется при \( x \le 1 \) или \( x > 3 \).

Учитывая, что \( x
e 2 \) (что уже выполняется, так как 2 не входит ни в один из интервалов) и \( x
e 3 \) (что учтено в неравенстве \( x > 3 \)), получаем:

\( x ∈ (-\infty; 1] \cup (3; \infty) \).

Ответ: \( x ∈ (-\infty; 1] \cup (3; \infty) \).