Решите неравенство: \(\frac{x^2+2x-3}{\log_{3}(8 \cdot 2^{x})} \leq 0\)

Решение:

Для решения данного неравенства необходимо проанализировать числитель и знаменатель отдельно, а также учесть ограничения на область допустимых значений переменной \(x\).

1. Преобразуем числитель:
   \( x^2 + 2x - 3 \). Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\).
   Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
   Корни: \( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \>.
   Таким образом, числитель можно записать как \( (x-1)(x+3) \).
2. Преобразуем знаменатель:
   \( \log_{3}(8 \cdot 2^{x}) \).
   Для существования логарифма аргумент должен быть положительным: \( 8 \cdot 2^{x} > 0 \). Это условие выполняется всегда, так как \( 2^{x} > 0 \) для любого \(x\) и \(8 > 0\).
   Также основание логарифма \(3 \neq 1\) и \(3 > 0\), что выполняется.
   Чтобы знаменатель был не равен нулю, аргумент логарифма не должен быть равен 1:
   \( 8 \cdot 2^{x} \neq 1 \)
   \( 2^{x} \neq \frac{1}{8} \)
   \( 2^{x} \neq 2^{-3} \)
   \( x \neq -3 \).
3. Упростим логарифм:
   \( \log_{3}(8 \cdot 2^{x}) = \log_{3}(2^3 \cdot 2^{x}) = \log_{3}(2^{3+x}) = (3+x) \log_{3}(2) \).
4. Составим неравенство:
   \( \frac{(x-1)(x+3)}{(3+x) \log_{3}(2)} \leq 0 \).
   Поскольку \( \log_{3}(2) > 0 \) (так как \(3 > 1\) и \(2 > 1\)), мы можем умножить обе части неравенства на \( \log_{3}(2) \), не меняя знака неравенства:
   \( \frac{(x-1)(x+3)}{3+x} \leq 0 \).
   Учитывая, что \( x \neq -3 \), мы можем сократить \( (3+x) \) в числителе и знаменателе:
   \( x-1 \leq 0 \) при условии \( x+3 \neq 0 \).
   \( x \leq 1 \) при условии \( x \neq -3 \).
5. Учтем ограничения:
   Знаменатель \( \log_{3}(8 \cdot 2^{x}) \neq 0 \), что означает \( x \neq -3 \).
   Таким образом, решение \( x \leq 1 \) и \( x \neq -3 \).
6. Объединим все условия:
   Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Это возможно в двух случаях:
   Случай 1: Числитель \( \geq 0 \) и знаменатель \( < 0 \).
   \( (x-1)(x+3) \geq 0 \) ⇒ \( x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty) \).
   \( (3+x) \log_{3}(2) < 0 \) ⇒ \( 3+x < 0 \) ⇒ \( x < -3 \).
   Пересечение: \( x \in (-\infty, -3) \).
   Случай 2: Числитель \( \leq 0 \) и знаменатель \( > 0 \).
   \( (x-1)(x+3) \leq 0 \) ⇒ \( x \in [-3, 1] \).
   \( (3+x) \log_{3}(2) > 0 \) ⇒ \( 3+x > 0 \) ⇒ \( x > -3 \).
   Пересечение: \( x \in (-3, 1] \).
   Объединяя оба случая: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1] \).
7. Итоговое решение:
   Учитывая, что \( x \neq -3 \) из знаменателя, и \( x^2+2x-3 \) может быть равен нулю (что дает \( x=1 \) или \(x=-3\)), и неравенство \( \leq 0 \), мы получаем:
   \( \frac{(x-1)(x+3)}{(3+x) \log_{3}(2)} \leq 0 \).
   Если \( x = 1 \), числитель равен 0, знаменатель не равен 0, неравенство выполняется.
   Если \( x = -3 \), знаменатель равен 0, что недопустимо.
   Значит, \( x=1 \) входит в решение, а \( x=-3 \) — нет.
   Рассмотрим знак выражения \( \frac{(x-1)(x+3)}{3+x} \).
   При \( x > 1 \), \( x-1 > 0 \), \( x+3 > 0 \), \( 3+x > 0 \) → \( + \) ⇒ \( > 0 \).
   При \( -3 < x < 1 \), \( x-1 < 0 \), \( x+3 > 0 \), \( 3+x > 0 \) → \( \frac{(-)(+)}{(+)} = - \) ⇒ \( < 0 \).
   При \( x < -3 \), \( x-1 < 0 \), \( x+3 < 0 \), \( 3+x < 0 \) → \( \frac{(-)(-)}{(-)} = - \) ⇒ \( < 0 \).
   Таким образом, неравенство выполняется при \( x < -3 \) или \( -3 < x ≤ 1 \).
   Решение: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1] \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1] \).