Решите неравенство \(\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-5} \ge 0\).

Решение неравенства

Для решения данного неравенства, сначала найдем корни числителя и знаменателя.

• Числитель:\[ x^2 - 10x + 25 = 0 \]\[ (x-5)^2 = 0 \]\[ x = 5 \]
• Знаменатель:\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\).\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \]\[ x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \]

Теперь определим знаки выражения на интервалах, используя корни числителя (x=5) и знаменателя (x=-1, x=5). Обратите внимание, что x=5 является корнем и числителя, и знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x ≠ 5 и x ≠ -1.

Расставим корни на числовой прямой:

---|---|---|---

-1 5

Рассмотрим знаки на интервалах:

• При x > 5 (например, x=6): \( \frac{6^2 - 10(6) + 25}{6^2 - 4(6) - 5} = \frac{36 - 60 + 25}{36 - 24 - 5} = \frac{1}{7} > 0 \)
• При -1 < x < 5 (например, x=0): \( \frac{0^2 - 10(0) + 25}{0^2 - 4(0) - 5} = \frac{25}{-5} = -5 < 0 \)
• При x < -1 (например, x=-2): \( \frac{(-2)^2 - 10(-2) + 25}{(-2)^2 - 4(-2) - 5} = \frac{4 + 20 + 25}{4 + 8 - 5} = \frac{49}{7} = 7 > 0 \)

Нам нужно найти значения, где выражение \( \ge 0 \). Это интервалы \( x < -1 \) и \( x = 5 \) (так как числитель равен нулю). Однако, поскольку x=5 является корнем знаменателя, он не входит в решение.

На интервале \( x < -1 \) выражение положительно.

В точке \( x = 5 \) числитель равен 0, знаменатель равен 0. При \( x \to 5 \), \( \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+1)} = \frac{x-5}{x+1} \). При \( x=5 \) это равно \( \frac{0}{6} = 0 \). Так как неравенство \( \ge 0 \), точка \( x=5 \) должна быть включена, но так как это корень знаменателя, она исключается.

Таким образом, решение неравенства:

\( x < -1 \)

Интервал \( x=5 \) не может быть решением, так как знаменатель обращается в ноль.

Итоговый ответ:

Ответ: (-∞; -1)