Решите неравенство: \(\frac{2x^2 - 12x + 18}{x + 4} < 0\)

Решение:

1. Разложим числитель на множители: \( 2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2 \).
2. Таким образом, неравенство принимает вид: \[ \frac{2(x - 3)^2}{x + 4} < 0 \]
3. Обратим внимание, что \( 2(x - 3)^2 \) всегда неотрицательно. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был строго отрицательным, а знаменатель — отрицательным.
4. Числитель \( 2(x - 3)^2 \) равен нулю при \( x = 3 \). Он положителен при \( x \neq 3 \).
5. Знаменатель \( x + 4 \) отрицателен при \( x < -4 \).
6. Учитывая, что числитель \( 2(x - 3)^2 \) не может быть отрицательным, а должен быть строго меньше нуля, мы исключаем случай \( x = 3 \).
7. Следовательно, неравенство выполняется только тогда, когда \( x + 4 < 0 \) и \( x \neq 3 \).
8. Условие \( x + 4 < 0 \) означает \( x < -4 \).
9. Поскольку \( x < -4 \) автоматически исключает \( x = 3 \), решение неравенства — это \( x < -4 \).

Ответ: \( x < -4 \).