Решите неравенство \(\frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 29x - 6} \leq 0\).

Дано:

• Неравенство: \( \frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 29x - 6} \leq 0 \)

Решение:

1. Разложим числитель на множители:
   Числитель: \( 25x^2 + 10x + 1 \). Это полный квадрат: \( (5x + 1)^2 \).
2. Разложим знаменатель на множители:
   Знаменатель: \( 5x^2 - 29x - 6 \). Найдем корни квадратного уравнения \( 5x^2 - 29x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4(5)(-6) = 841 + 120 = 961 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{961} = 31 \]
   Корни: \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 31}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2 \)
   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 31}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6 \]
   Таким образом, знаменатель раскладывается как \( 5(x - (-0.2))(x - 6) = 5(x + 0.2)(x - 6) \).
3. Перепишем неравенство:
   \[ \frac{(5x + 1)^2}{5(x + 0.2)(x - 6)} \leq 0 \]
4. Метод интервалов:
   Критические точки: \( x = -0.2 \) (корень числителя, который равен нулю), \( x = -0.2 \) (корень знаменателя), \( x = 6 \) (корень знаменателя).
   Обратите внимание, что \( x = -0.2 \) является корнем числителя и знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
   eq -0.2 \) и \( x
   eq 6 \).
   Числитель \( (5x + 1)^2 \) всегда неотрицателен. Для того, чтобы вся дробь была неположительной, знаменатель должен быть отрицательным (так как числитель равен нулю только при \( x = -1/5 = -0.2 \), но это значение исключено из-за знаменателя).
   Следовательно, нам нужно, чтобы \( 5(x + 0.2)(x - 6) < 0 \).
   Разделим на 5 (положительное число, знак неравенства не меняется): \( (x + 0.2)(x - 6) < 0 \).
   Критические точки: \( -0.2 \) и \( 6 \).
   Расставим знаки интервалов:
   
   • При \( x > 6 \) (например, \( x=7 \)): \( (7+0.2)(7-6) = (+)(+) = + \)
   • При \( -0.2 < x < 6 \) (например, \( x=0 \)): \( (0+0.2)(0-6) = (+)(-) = - \)
   • При \( x < -0.2 \) (например, \( x=-1 \)): \( (-1+0.2)(-1-6) = (-)(-) = + \)

   Нам нужен интервал, где выражение отрицательно, то есть \( -0.2 < x < 6 \).

   Также следует учесть, что числитель \( (5x+1)^2 \) равен нулю при \( x = -0.2 \). Однако, поскольку \( x = -0.2 \) также является корнем знаменателя, он исключается из области допустимых значений.

Ответ: \( x ∈ (-0.2; 6) \)