Решите неравенство: б) lg (x - 4) + lg (x - 2) > 0

Привет! Давай решим это логарифмическое неравенство.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм определен только для положительных чисел, поэтому:

• x - 4 > 0 => x > 4
• x - 2 > 0 => x > 2

Объединяя эти условия, получаем, что x > 4. Это наша ОДЗ.

Теперь перейдем к самому неравенству:

• \[ \lg (x - 4) + \lg (x - 2) > 0 \]

Используем свойство логарифмов: lg A + lg B = lg (A * B).

• \[ \lg ((x - 4)(x - 2)) > 0 \]

Теперь вспомним, что lg означает десятичный логарифм (с основанием 10). Неравенство lg Y > 0 эквивалентно Y > 10^0, то есть Y > 1.

Применяем это к нашему неравенству:

• \[ (x - 4)(x - 2) > 10^0 \]
• \[ (x - 4)(x - 2) > 1 \]

Раскроем скобки:

• \[ x^2 - 2x - 4x + 8 > 1 \]
• \[ x^2 - 6x + 8 > 1 \]

Перенесем все в одну сторону:

• \[ x^2 - 6x + 7 > 0 \]

Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения x^2 - 6x + 7 = 0. Воспользуемся формулой дискриминанта:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 \]
• \[ D = 36 - 28 \]
• \[ D = 8 \]

Найдем корни:

• \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} \]
• \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
• \[ x_1 = 3 - \sqrt{2} \]
• \[ x_2 = 3 + \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть парабола y = x^2 - 6x + 7, ветви которой направлены вверх. Нам нужно, чтобы y > 0, то есть чтобы значения были выше оси x. Это происходит при x < 3 - \sqrt{2} или x > 3 + \sqrt{2}.

Но не забываем про нашу ОДЗ: x > 4.

Сравним значения:

• \[ \sqrt{2} \approx 1.414 \]
• \[ 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586 \]
• \[ 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.414 = 4.414 \]

Нам нужно, чтобы выполнялись оба условия: (x < 1.586 или x > 4.414) И (x > 4).

Пересекая эти два условия:

• x < 1.586 и x > 4 — нет пересечения.
• x > 4.414 и x > 4 — пересечение дает x > 4.414.

Значит, решением является x > 3 + \sqrt{2}.

Ответ: (3 + \sqrt{2}; +∞)