Решите неравенство: a) (1/49)^x - 8 * (1/7)^x + 7 <= 0

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

Сначала заметим, что (1/49)^x можно представить как ((1/7)^2)^x, что равно (1/7)^(2x). А это, в свою очередь, можно записать как ((1/7)^x)^2.

Теперь наше неравенство выглядит так:

• \[ \left(\frac{1}{7}\right)^{2x} - 8 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x + 7 \le 0 \]

Давай введем замену переменной, чтобы стало проще. Пусть t = (1/7)^x. Поскольку основание степени (1/7) меньше 1, а показатель степени x может быть любым действительным числом, значение t всегда будет больше 0.

Теперь неравенство принимает вид квадратного неравенства:

• \[ t^2 - 8t + 7 \le 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения t^2 - 8t + 7 = 0. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета:

• t1 + t2 = 8
• t1 * t2 = 7

Легко подобрать корни: t1 = 1 и t2 = 7.

Теперь наше неравенство можно разложить на множители:

• \[ (t - 1)(t - 7) \le 0 \]

Это парабола ветвями вверх. Она будет неположительной (то есть <= 0) между корнями, включая сами корни.

Значит, 1 <= t <= 7.

Теперь вернемся к нашей замене t = (1/7)^x:

• \[ 1 \le \left(\frac{1}{7}\right)^x \le 7 \]

Чтобы решить это двойное неравенство, представим все числа в виде степени с основанием 1/7.

• 1 можно представить как (1/7)^0.
• 7 можно представить как (1/7)^(-1), потому что 7 = 1 / (1/7) = (1/7)^(-1).

Теперь неравенство выглядит так:

• \[ \left(\frac{1}{7}\right)^0 \le \left(\frac{1}{7}\right)^x \le \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} \]

Важно! Когда мы работаем с показательной функцией, основание которой меньше 1 (в нашем случае 1/7), при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный.

Таким образом, получаем:

• \[ 0 \ge x \ge -1 \]

Перепишем в привычном порядке:

• \[ -1 \le x \le 0 \]

Ответ: [-1; 0]