Решите неравенство: (2^x - 2^3-x - 2)8^{2x} > 0

Решение:

Перепишем неравенство, используя свойства степеней:

\[ (2^x - \frac{2^3}{2^x} - 2) \cdot (2^3)^{2x} > 0 \]

\[ (2^x - \frac{8}{2^x} - 2) \cdot 2^{6x} > 0 \]

Так как \( 2^{6x} > 0 \) для любого \( x \), то знак неравенства зависит только от выражения в скобках:

\[ 2^x - \frac{8}{2^x} - 2 > 0 \]

Сделаем замену переменной \( t = 2^x \). Учитывая, что \( 2^x > 0 \), то \( t > 0 \).

\[ t - \frac{8}{t} - 2 > 0 \]

Умножим неравенство на \( t \) (так как \( t > 0 \), знак неравенства не меняется):

\[ t^2 - 8 - 2t > 0 \]

\[ t^2 - 2t - 8 > 0 \]

Решим квадратное неравенство \( t^2 - 2t - 8 > 0 \). Найдем корни уравнения \( t^2 - 2t - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

\[ t_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]

\[ t_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \]

Парабола \( y = t^2 - 2t - 8 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( t^2 - 2t - 8 > 0 \) выполняется при \( t < -2 \) или \( t > 4 \).

Учитывая условие \( t > 0 \), получаем \( t > 4 \).

Вернемся к замене \( t = 2^x \):

\[ 2^x > 4 \]

\[ 2^x > 2^2 \]

Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатель степени \( x \) больше:

\[ x > 2 \]

Ответ: x > 2.