Решите неравенство 16x^2+8x+1 / 4x^2-19x-5 <= 0.

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

Приравняем числитель к нулю:

\( 16x^2 + 8x + 1 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0 \).

Так как \( D = 0 \), числитель имеет один корень:

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 16} = \frac{-8}{32} = -0.25 \]

2. Корни знаменателя:

Приравняем знаменатель к нулю:

\( 4x^2 - 19x - 5 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 \).

Корень из дискриминанта \( \sqrt{441} = 21 \).

Найдём корни знаменателя:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25 \]

Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 5 \) и \( x \neq -0.25 \).

3. Метод интервалов:

Отметим корни на числовой оси:

\( -0.25 \) (числитель, корень кратности 2, поэтому знак не меняется) и \( 5 \) (знаменатель, выколотая точка).

Расставим знаки интервалов:

• Для \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( \frac{16(6)^2+8(6)+1}{4(6)^2-19(6)-5} = \frac{16(36)+48+1}{4(36)-114-5} = \frac{576+48+1}{144-114-5} = \frac{625}{25} > 0 \).
• Для \( -0.25 < x < 5 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{16(0)^2+8(0)+1}{4(0)^2-19(0)-5} = \frac{1}{-5} < 0 \).
• Для \( x < -0.25 \) (например, \( x=-1 \)): \( \frac{16(-1)^2+8(-1)+1}{4(-1)^2-19(-1)-5} = \frac{16-8+1}{4+19-5} = \frac{9}{18} > 0 \).

Нам нужно \( \le 0 \).

Интервал \( (-0.25, 5) \) удовлетворяет условию.

Так как \( x = -0.25 \) является корнем числителя, он входит в решение, но так как знаменатель равен нулю при \( x = -0.25 \), эта точка должна быть исключена.

Проблема в том, что \( -0.25 \) является корнем числителя кратности 2, а также корнем знаменателя. Посмотрим внимательнее на дробь:

\( \frac{(4x+1)^2}{(4x+1)(x-5)} = \frac{4x+1}{x-5} \) при \( x \neq -0.25 \).

Теперь решаем \( \frac{4x+1}{x-5} \le 0 \).

Корни: \( 4x+1=0 \Rightarrow x = -0.25 \) (числитель, входит в решение) и \( x-5=0 \Rightarrow x=5 \) (знаменатель, не входит в решение).

Числовая ось:

• \( x > 5 \): \( +/+ = + \)
• \( -0.25 < x < 5 \): \( +/ - = - \)
• \( x < -0.25 \): \( -/- = + \)

Нам нужно \( \le 0 \). Это интервал \( (-0.25, 5) \).

Так как \( x=-0.25 \) является корнем числителя, он входит в решение. Но в исходной дроби \( x=-0.25 \) также делает знаменатель равным нулю, поэтому эта точка должна быть исключена.

Следовательно, решение будет \( (-0.25, 5) \).

Ответ: \( (-0.25, 5) \).