2 Решите неравенство: 1) 20+4.10 ≥ 5.5* 2) 1 3) log1 (2x-5)>-1. Уровень В 2-6 10x 1 <

1) Решим неравенство: 20ˣ + 4 \(\cdot\) 10ˣ ≥ 5 \(\cdot\) 5ˣ Разделим обе части неравенства на 5ˣ (так как 5ˣ > 0): \[\frac{20^x}{5^x} + 4 \cdot \frac{10^x}{5^x} \ge 5\] \[\left(\frac{20}{5}\right)^x + 4 \cdot \left(\frac{10}{5}\right)^x \ge 5\] \[4^x + 4 \cdot 2^x \ge 5\] Пусть \(t = 2^x\), тогда \(t^2 + 4t - 5 \ge 0\). Решим квадратное уравнение \(t^2 + 4t - 5 = 0\): \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\) \(t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\) \(t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\) Так как \(t = 2^x\) и \(2^x > 0\), то \(t > 0\). Значит, рассматриваем только \(t = 1\). \[t^2 + 4t - 5 \ge 0 \Rightarrow (t - 1)(t + 5) \ge 0\] \[t \le -5 \quad \text{или} \quad t \ge 1\] Учитывая \(t > 0\), имеем \(t \ge 1\), то есть \(2^x \ge 1\). \[2^x \ge 2^0 \Rightarrow x \ge 0\] 2) Решим неравенство: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x^2 - 6} < \left(\frac{1}{2}\right)^{10x}\) \(\left(\frac{1}{2^2}\right)^{x^2 - 6} < \left(\frac{1}{2}\right)^{10x}\) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2(x^2 - 6)} < \left(\frac{1}{2}\right)^{10x}\) Так как основание степени \(\frac{1}{2} < 1\), то знак неравенства меняется: \[2(x^2 - 6) > 10x\] \[2x^2 - 12 > 10x\] \[2x^2 - 10x - 12 > 0\] \[x^2 - 5x - 6 > 0\] Решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 6 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\) \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6\) \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1\) Тогда \[(x - 6)(x + 1) > 0\] \[x < -1 \quad \text{или} \quad x > 6\] 3) Решим неравенство: \(\log_{\frac{1}{4}}(2x - 5) > -1\) \[\log_{\frac{1}{4}}(2x - 5) > -1 \Rightarrow 2x - 5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{2}\] \[\log_{\frac{1}{4}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\] Так как основание логарифма \(\frac{1}{4} < 1\), то знак неравенства меняется: \[2x - 5 < \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\] \[2x - 5 < 4\] \[2x < 9\] \[x < \frac{9}{2}\] Учитывая, что \(x > \frac{5}{2}\), получаем: \[\frac{5}{2} < x < \frac{9}{2}\]