Решите неравенство \( \frac{(x-9)^3 (x+3)}{x^2-4x-45} \le 0 \).

Пошаговое решение:

1. Разложим знаменатель на множители:
   \[x^2 - 4x - 45 = (x - 9)(x + 5)\]
2. Запишем неравенство в виде:
   \[\frac{(x-9)^3 (x+3)}{(x-9)(x+5)} \le 0\]
3. Сократим дробь на \( (x-9) \), учитывая, что \( x
   eq 9 \):
   \[\frac{(x-9)^2 (x+3)}{(x+5)} \le 0\]
4. Найдем нули числителя и знаменателя:
   \( x = 9 \) (дважды), \( x = -3 \), \( x = -5 \)
5. Определим знаки на каждом промежутке:
   
   • \( x < -5 \): \( (-) \)
   • \( -5 < x < -3 \): \( (+) \)
   • \( -3 < x < 9 \): \( (-) \)
   • \( x > 9 \): \( (-) \)
6. Запишем решение, учитывая знак неравенства (меньше или равно):
   \[ x \in (-5; -3] \cup \{9\} \]

Ответ: \( x \in (-5; -3] \cup \{9\} \)