Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешите неравенство 7-\|x-3\| \cdot log2(6x - x²-7) ≥ 1.
Ответ:
Ответ: x = 3
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Определение ОДЗ логарифма
Решение квадратного неравенства
Ищем корни квадратного уравнения: \[x^2 - 6x + 7 = 0\] Дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8\] Корни: \[x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\] Следовательно, \[x_1 = 3 - \sqrt{2} \approx 1.586, \quad x_2 = 3 + \sqrt{2} \approx 4.414\]
Решением неравенства является интервал между корнями: \[3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}\]
- Шаг 2: Анализ показательного множителя
Так как \[7^{-|x-3|} > 0\] при любых значениях x, то можно рассмотреть случаи, когда этот множитель равен 1.
Если \[7^{-|x-3|} = 1\], то \[-|x-3| = 0\], что означает \[x = 3\].
Проверим, удовлетворяет ли это значение ОДЗ: \[3 - \sqrt{2} < 3 < 3 + \sqrt{2}\]
Значение x = 3 входит в ОДЗ, и при этом неравенство принимает вид: \[1 \cdot \log_2(6 \cdot 3 - 3^2 - 7) \ge 1\] \[\log_2(18 - 9 - 7) \ge 1\] \[\log_2(2) \ge 1\] \[1 \ge 1\]
Следовательно, x = 3 является решением.
- Шаг 3: Рассмотрим другие случаи
Если \[7^{-|x-3|}
eq 1\] (т.е. x ≠ 3), то необходимо рассмотреть функцию \[f(x) = 7^{-|x-3|} \cdot \log_2(6x - x^2 - 7)\] на интервале \[(3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2})\]
Однако, при x = 3, логарифм равен 1, и значение выражения становится равным \[7^0 \cdot \log_2(2) = 1\]
В окрестности x = 3 значение \[7^{-|x-3|}\] будет меньше 1, а значит, значение логарифма должно быть больше 1, чтобы выполнялось неравенство.
Но из-за ограничений ОДЗ, \[6x - x^2 - 7\] не может быть больше 2.
Таким образом, единственным решением является x = 3.
Ответ: x = 3
