9. Решите неравенство: \[ \frac{\log_{0,2}(x-2)}{(4^x-8)(|x|-5)} \geq 0. \]

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Область определения (ОО):
   Логарифм: \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
   Знаменатель: \( 4^x - 8
   eq 0 \Rightarrow 4^x
   eq 8 \Rightarrow 2^{2x}
   eq 2^3 \Rightarrow 2x
   eq 3 \Rightarrow x
   eq \frac{3}{2} = 1.5 \)
   Модуль: \( |x| - 5
   eq 0 \Rightarrow |x|
   eq 5 \Rightarrow x
   eq \pm 5 \)
   Учитывая \( x > 2 \), получаем \( x
   eq 5 \)
   Итого: \( x > 2 \), \( x
   eq 5 \)
2. Шаг 2: Нули числителя:
   \( \log_{0,2}(x-2) = 0 \)
   \( x - 2 = (0,2)^0 = 1 \)
   \( x = 3 \)
3. Шаг 3: Нули знаменателя:
   \( 4^x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \) (не входит в ОО)
   \( |x| - 5 = 0 \Rightarrow x = \pm 5 \) (только \( x = 5 \) входит в ОО)
4. Шаг 4: Метод интервалов:
   Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{\log_{0,2}(x-2)}{(4^x-8)(|x|-5)} \)
   Отмечаем на числовой прямой точки \( 3 \) и \( 5 \) и область \( x > 2 \).
   Интервалы: \( (2; 3) \), \( (3; 5) \), \( (5; +\infty) \)
5. Шаг 5: Анализ знаков:
   1) \( x \in (2; 3) \), например, \( x = 2.5 \)
   \( \log_{0,2}(2.5-2) = \log_{0,2}(0.5) = 1 > 0 \)
   \( 4^{2.5} - 8 > 0 \)
   \( |2.5| - 5 < 0 \)
   Тогда знак \( f(x) \): \( \frac{+}{(+)( -)} = - \)
   2) \( x \in (3; 5) \), например, \( x = 4 \)
   \( \log_{0,2}(4-2) = \log_{0,2}(2) < 0 \)
   \( 4^4 - 8 > 0 \)
   \( |4| - 5 < 0 \)
   Тогда знак \( f(x) \): \( \frac{-}{(+)( -)} = + \)
   3) \( x \in (5; +\infty) \), например, \( x = 6 \)
   \( \log_{0,2}(6-2) = \log_{0,2}(4) < 0 \)
   \( 4^6 - 8 > 0 \)
   \( |6| - 5 > 0 \)
   Тогда знак \( f(x) \): \( \frac{-}{(+)( +)} = - \)
6. Шаг 6: Выбор интервала:
   Нужно \( f(x) \geq 0 \). Подходит интервал \( (3; 5) \), а также точка \( x = 3 \).

Ответ: \( x \in [3; 5) \)