Решите неравенства: 1. 82x+1 > 0,125 x2 2. 3x² <3x+6 3. 27* <9x²-1 4. 3.92x-2 > 1/72 3x-1

Решение неравенств:

1. Неравенство 1: \( 8^{2x+1} > 0.125 \)

   Логика такая:

   • Преобразуем обе части неравенства к степени с основанием 2.
   • \( 8 = 2^3 \) и \( 0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3} \).

   Следовательно, \( (2^3)^{2x+1} > 2^{-3} \).

   Тогда \( 2^{6x+3} > 2^{-3} \).

   Так как основание больше 1, можно перейти к неравенству показателей: \( 6x + 3 > -3 \).

   Решаем неравенство: \( 6x > -6 \), следовательно, \( x > -1 \).

   Показать подробные вычисления

   \[ 8^{2x+1} > 0.125 \Rightarrow (2^3)^{2x+1} > 2^{-3} \Rightarrow 2^{6x+3} > 2^{-3} \Rightarrow 6x+3 > -3 \Rightarrow 6x > -6 \Rightarrow x > -1 \]

   Ответ: x > -1

2. Неравенство 2: \( 3^{x^2} < 3^{x+6} \)

   Смотри, тут всё просто:

   • Основания одинаковы (3), и 3 > 1, поэтому можно перейти к неравенству показателей.
   • \( x^2 < x + 6 \).

   Решаем квадратное неравенство: \( x^2 - x - 6 < 0 \).

   Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \).

   Корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).

   Решением неравенства является интервал между корнями: \( -2 < x < 3 \).

   Показать подробные вычисления

   \[ x^2 < x + 6 \Rightarrow x^2 - x - 6 < 0 \Rightarrow (x+2)(x-3) < 0 \Rightarrow -2 < x < 3 \]

   Ответ: -2 < x < 3

3. Неравенство 3: \( 27^x < 9^{x^2 - 1} \)

   Разбираемся:

   • Преобразуем обе части неравенства к степени с основанием 3.
   • \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \).

   Тогда \( (3^3)^x < (3^2)^{x^2 - 1} \).

   Следовательно, \( 3^{3x} < 3^{2x^2 - 2} \).

   Так как основание больше 1, можно перейти к неравенству показателей: \( 3x < 2x^2 - 2 \).

   Решаем квадратное неравенство: \( 2x^2 - 3x - 2 > 0 \).

   Находим корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \).

   Корни: \( x_1 = -\frac{1}{2} \) и \( x_2 = 2 \).

   Решением неравенства являются интервалы вне корней: \( x < -\frac{1}{2} \) или \( x > 2 \).

   Показать подробные вычисления

   \[ 27^x < 9^{x^2 - 1} \Rightarrow (3^3)^x < (3^2)^{x^2 - 1} \Rightarrow 3^{3x} < 3^{2x^2 - 2} \Rightarrow 3x < 2x^2 - 2 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 > 0 \Rightarrow (2x+1)(x-2) > 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \cup x > 2 \]

   Ответ: x < -1/2 или x > 2

4. Неравенство 4: \( 3 \cdot 9^{2x-2} > \left( \frac{1}{27} \right)^{3x-1} \)

   Смотри, как это работает:

   • Преобразуем обе части неравенства к степени с основанием 3.
   • \( 9 = 3^2 \) и \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \).

   Тогда \( 3 \cdot (3^2)^{2x-2} > (3^{-3})^{3x-1} \).

   Следовательно, \( 3^{1 + 4x - 4} > 3^{-9x + 3} \).

   Тогда \( 3^{4x - 3} > 3^{-9x + 3} \).

   Так как основание больше 1, можно перейти к неравенству показателей: \( 4x - 3 > -9x + 3 \).

   Решаем неравенство: \( 13x > 6 \), следовательно, \( x > \frac{6}{13} \).

   Показать подробные вычисления

   \[ 3 \cdot 9^{2x-2} > \left( \frac{1}{27} \right)^{3x-1} \Rightarrow 3 \cdot (3^2)^{2x-2} > (3^{-3})^{3x-1} \Rightarrow 3^{1+2(2x-2)} > 3^{-3(3x-1)} \Rightarrow 3^{1+4x-4} > 3^{-9x+3} \Rightarrow 3^{4x-3} > 3^{-9x+3} \Rightarrow 4x-3 > -9x+3 \Rightarrow 13x > 6 \Rightarrow x > \frac{6}{13} \]

   Ответ: x > 6/13