Решите иррациональное уравнение x + √x = 2(x - 1).

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( x + \sqrt{x} = 2x - 2 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону: \( \sqrt{x} = 2x - x - 2 \), что даёт \( \sqrt{x} = x - 2 \).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \)
4. \( x = x^2 - 4x + 4 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - 4x - x + 4 = 0 \), что даёт \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: \( x_1 + x_2 = 5 \), \( x_1 \cdot x_2 = 4 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 4 \).
7. Проверим корни в исходном уравнении \( \sqrt{x} = x - 2 \):
8. Для \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 - 2 \) → \( 1 = -1 \) (неверно).
9. Для \( x = 4 \): \( \sqrt{4} = 4 - 2 \) → \( 2 = 2 \) (верно).

Ответ: \( x = 4 \).