Решите интеграл: \(\int (3x^2 + 5x - 1/x) dx\)

Решение:

Для решения интеграла применим правило суммы и разности интегралов, а также правило для интеграла от степенной функции и 1/x:

1. Разделим интеграл на сумму интегралов: \[ \int (3x^2 + 5x - \frac{1}{x}) dx = \int 3x^2 dx + \int 5x dx - \int \frac{1}{x} dx \]
2. Вынесем константы за знак интеграла: \[ 3 \int x^2 dx + 5 \int x dx - \int \frac{1}{x} dx \]
3. Применим формулы интегрирования: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) и \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| \).
4. Проинтегрируем каждый член: \[ 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \ln|x| + C \]
5. Упростим выражение: \[ 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} - \ln|x| + C \]
6. Окончательный результат: \[ x^3 + \frac{5}{2}x^2 - \ln|x| + C \]

Ответ: \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - \ln|x| + C \).