Решите графически уравнение –х + 6 = √x

Решение:

Для решения уравнения \( -x + 6 = \sqrt{x} \) графически, построим графики двух функций: \( y = -x + 6 \) и \( y = \sqrt{x} \).

1. График функции \( y = -x + 6 \)

Это линейная функция. Для её построения достаточно двух точек:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -0 + 6 = 6 \). Точка: (0, 6).
• Если \( x = 6 \), то \( y = -6 + 6 = 0 \). Точка: (6, 0).

Проведём прямую через эти точки.

2. График функции \( y = \sqrt{x} \)

Это график квадратного корня. Начнём с нескольких точек:

• Если \( x = 0 \), то \( y = \sqrt{0} = 0 \). Точка: (0, 0).
• Если \( x = 1 \), то \( y = \sqrt{1} = 1 \). Точка: (1, 1).
• Если \( x = 4 \), то \( y = \sqrt{4} = 2 \). Точка: (4, 2).
• Если \( x = 9 \), то \( y = \sqrt{9} = 3 \). Точка: (9, 3).

График строится в первой четверти, так как \( x \geq 0 \) и \( \sqrt{x} \geq 0 \).

3. Нахождение точек пересечения

Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями уравнения. Визуально, или по расчёту, можно определить, что графики пересекаются в одной точке. Возведём обе части уравнения в квадрат (при условии \( -x+6 ≥ 0 \), то есть \( x ≤ 6 \)):

\[ (-x + 6)^2 = (\sqrt{x})^2 \]

\[ x^2 - 12x + 36 = x \]

\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Найдём корни этого квадратного уравнения:

\[ D = (-13)^2 - 4 · 1 · 36 = 169 - 144 = 25 \]

\[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Проверим полученные корни в исходном уравнении \( -x + 6 = \sqrt{x} \):

• При \( x = 9 \): \( -9 + 6 = -3 \) и \( \sqrt{9} = 3 \). \( -3 \neq 3 \), значит \( x = 9 \) — посторонний корень. Это произошло из-за возведения в квадрат (мы потеряли условие \( -x+6 ≥ 0 \)).
• При \( x = 4 \): \( -4 + 6 = 2 \) и \( \sqrt{4} = 2 \). \( 2 = 2 \), значит \( x = 4 \) — верный корень.

Графически это будет видно как одна точка пересечения.

Ответ: x = 4.