397. Решите графически систему уравнений { x² + y² = 100, y = 1/2 x² - 10.

Решим графически систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \end{cases}$$

Первое уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом $$r = \sqrt{100} = 10$$.

Второе уравнение представляет собой параболу с вершиной в точке $$(0, -10)$$, раскрывающуюся вверх.

Чтобы решить систему графически, нужно построить графики обоих уравнений и найти точки их пересечения.

Найдем точки пересечения аналитически:

Из второго уравнения выразим $$x^2$$: $$x^2 = 2(y + 10)$$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$2(y + 10) + y^2 = 100$$ $$y^2 + 2y + 20 - 100 = 0$$ $$y^2 + 2y - 80 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-80)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2}$$ $$y = \frac{-2 \pm 18}{2}$$

Получаем два значения для $$y$$:

$$y_1 = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y_2 = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Теперь найдем соответствующие значения для $$x$$:

Для $$y_1 = 8$$:

$$x^2 = 2(y_1 + 10) = 2(8 + 10) = 2(18) = 36$$ $$x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$$

Для $$y_2 = -10$$:

$$x^2 = 2(y_2 + 10) = 2(-10 + 10) = 2(0) = 0$$ $$x = \sqrt{0} = 0$$

Таким образом, мы нашли три точки пересечения:

$$(6, 8), (-6, 8), (0, -10)$$

Эти точки являются решениями системы уравнений.

Графически это выглядит как пересечение окружности и параболы в трех точках.

Ответ: Система уравнений имеет три решения: $$(6, 8), (-6, 8), (0, -10)$$.