450. Решите графически

Задание 450 содержит только один пункт, поэтому решаем только его.

1)

$$ \begin{cases} y = x + 2, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Построим графики функций $$y = x + 2$$ и $$xy = 8$$ в одной координатной плоскости.

График функции $$y = x + 2$$ – прямая, проходящая через точки (-2, 0) и (0, 2).

График функции $$xy = 8$$ или $$y = \frac{8}{x}$$ – гипербола.

Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x + 2, \\ y = \frac{8}{x}. \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений: $$x + 2 = \frac{8}{x}$$.

Умножим обе части на $$x$$ (при условии $$x
eq 0$$): $$x^2 + 2x = 8$$.

Перенесем все в левую часть: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$.

Решим квадратное уравнение $$x^2 + 2x - 8 = 0$$:

Дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$.

Корни: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$, $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$.

Найдем соответствующие значения $$y$$:

Для $$x_1 = 2$$: $$y_1 = x_1 + 2 = 2 + 2 = 4$$.

Для $$x_2 = -4$$: $$y_2 = x_2 + 2 = -4 + 2 = -2$$.

Точки пересечения графиков: (2, 4) и (-4, -2).

Ответ: (2, 4) и (-4, -2).