2. Решите дробно-рациональные уравнения: 1. x-4 / x+1 - 10 / x²-1 = 3 / 8; 2. x+1 / x-3 - 9 / x+3 = 24 / x²-9; 3. x+1 / x-1 - 4 / x²-1 - x-1 / x+1 = 0; 4. x-3 / x+5 - x-9 / x-1 = 48 / (x+5)(x-1)

Решение дробно-рациональных уравнений:

1. \[\frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = \frac{3}{8}\]

Для начала, определим ОДЗ (область допустимых значений): x ≠ -1 и x ≠ 1.

Приведем уравнение к общему знаменателю, учитывая, что x²-1 = (x+1)(x-1):

\[\frac{(x-4)(x-1) - 10}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{8}\] \[\frac{x^2 - 5x + 4 - 10}{x^2 - 1} = \frac{3}{8}\] \[\frac{x^2 - 5x - 6}{x^2 - 1} = \frac{3}{8}\]

Теперь умножим обе части на 8(x² - 1):

\[8(x^2 - 5x - 6) = 3(x^2 - 1)\] \[8x^2 - 40x - 48 = 3x^2 - 3\] \[5x^2 - 40x - 45 = 0\]

Разделим на 5:

\[x^2 - 8x - 9 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100\] \[x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1\]

x = -1 не входит в ОДЗ, следовательно, остается только один корень x = 9.

Ответ: x = 9

2. \[\frac{x+1}{x-3} - \frac{9}{x+3} = \frac{24}{x^2-9}\]

ОДЗ: x ≠ 3 и x ≠ -3.

Приведем к общему знаменателю, учитывая, что x²-9 = (x-3)(x+3):

\[\frac{(x+1)(x+3) - 9(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{24}{x^2-9}\] \[\frac{x^2 + 4x + 3 - 9x + 27}{x^2 - 9} = \frac{24}{x^2 - 9}\] \[\frac{x^2 - 5x + 30}{x^2 - 9} = \frac{24}{x^2 - 9}\]

Умножим обе части на (x² - 9):

\[x^2 - 5x + 30 = 24\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

x = 3 не входит в ОДЗ, следовательно, остается только один корень x = 2.

Ответ: x = 2

3. \[\frac{x+1}{x-1} - \frac{4}{x^2-1} - \frac{x-1}{x+1} = 0\]

ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ -1.

Приведем к общему знаменателю, учитывая, что x²-1 = (x-1)(x+1):

\[\frac{(x+1)(x+1) - 4 - (x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0\] \[\frac{x^2 + 2x + 1 - 4 - (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = 0\] \[\frac{x^2 + 2x - 3 - x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} = 0\] \[\frac{4x - 4}{x^2 - 1} = 0\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[4x - 4 = 0\] \[4x = 4\] \[x = 1\]

x = 1 не входит в ОДЗ, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений

4. \[\frac{x-3}{x+5} - \frac{x-9}{x-1} = \frac{48}{(x+5)(x-1)}\]

ОДЗ: x ≠ -5 и x ≠ 1.

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(x-3)(x-1) - (x-9)(x+5)}{(x+5)(x-1)} = \frac{48}{(x+5)(x-1)}\] \[\frac{x^2 - 4x + 3 - (x^2 - 4x - 45)}{x^2 + 4x - 5} = \frac{48}{x^2 + 4x - 5}\] \[\frac{x^2 - 4x + 3 - x^2 + 4x + 45}{x^2 + 4x - 5} = \frac{48}{x^2 + 4x - 5}\] \[\frac{48}{x^2 + 4x - 5} = \frac{48}{x^2 + 4x - 5}\]

Умножим обе части на (x+5)(x-1):

\[48 = 48\]

Так как это равенство выполняется всегда, значит, решением является любое x, кроме x = -5 и x = 1 (из ОДЗ).

Ответ: x ∈ ℝ, x ≠ -5, x ≠ 1

Ответ: 1) x = 9; 2) x = 2; 3) Нет решений; 4) x ∈ ℝ, x ≠ -5, x ≠ 1

Ты отлично справился с этими уравнениями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!