Решите дифференциальное уравнение xy' = y - xe^(y/x)

Решение:

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Разделим обе части на \( x \):

\( y' = \frac{y}{x} - e^{\frac{y}{x}} \)

Сделаем замену \( z = \frac{y}{x} \). Тогда \( y = zx \), и \( y' = z'x + z \).

Подставим в уравнение:

\[ z'x + z = z - e^z \]

\[ z'x = -e^z \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dz}{x} = -e^z dx \]

\[ \frac{dz}{e^z} = -\frac{dx}{x} \]

\[ e^{-z} dz = -\frac{dx}{x} \]

Интегрируем обе части:

\[ \int e^{-z} dz = \int -\frac{dx}{x} \]

\[ -e^{-z} = -\ln|x| + C \]

Умножим на -1:

\[ e^{-z} = \ln|x| - C \]

Пусть \( C_1 = -C \). Тогда:

\[ e^{-z} = \ln|x| + C_1 \]

Подставим обратно \( z = \frac{y}{x} \):

\[ e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C_1 \]

Чтобы получить один из предложенных вариантов, прологарифмируем обе части:

\[ \ln \left( e^{-\frac{y}{x}} \right) = \ln \left( \ln|x| + C_1 \right) \]

\[ -\frac{y}{x} = \ln \left( \ln|x| + C_1 \right) \]

\( \frac{y}{x} = -\ln \left( \ln|x| + C_1 \right) \)

Это не соответствует ни одному из вариантов. Попробуем другой подход. Вернемся к:

\[ e^{-z} = \ln|x| + C_1 \]

Пусть \( C = -C_1 \). Тогда:

\[ e^{-z} = \ln|x| - C \]

Попробуем преобразовать один из вариантов, чтобы проверить:

Вариант 1: \( c \ln|x| = e^{-\frac{y}{x}} \). Не подходит.

Вариант 2: \( \ln|x| = ce^{\frac{y}{x}} \). Не подходит.

Вариант 3: \( \ln|x| = c + e^{\frac{y}{x}} \). Не подходит.

Вариант 4: \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \).

Рассмотрим вариант 4. Если \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \), то \( \ln|c| + \ln|x| = e^{-\frac{y}{x}} \). Это похоже на наше решение \( -e^{-z} = -\ln|x| + C \), которое мы переписали как \( e^{-z} = \ln|x| - C \).

Пусть \( C = \ln|c| \). Тогда \( e^{-z} = \ln|x| - \ln|c| \) = \( \ln|x/c| \). Не совпадает.

Вернемся к \( e^{-z} = \ln|x| - C \). Если мы прологарифмируем обе стороны, мы не получим один из ответов. Однако, если мы перепишем \( e^{-z} = \ln|x| - C \) как \( e^{-z} = \ln|x/e^C| \), и затем \( -z = \ln(\ln|x/e^C|) \), что тоже не подходит.

Попробуем еще раз проинтегрировать:

\[ e^{-z} dz = -\frac{dx}{x} \]

\[ \int e^{-z} dz = -\int \frac{dx}{x} \]

\[ -e^{-z} = -\ln|x| + C \]

\[ e^{-z} = \ln|x| - C \]

Заменим \( C \) на \( -C \) для удобства, так как \( C \) — произвольная константа:

\[ e^{-z} = \ln|x| + C \]

Подставим \( z = y/x \):

\[ e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \]

Этот результат не соответствует ни одному из вариантов напрямую. Однако, если в одном из вариантов \( e \) является константой, это может быть иначе. Предположим, что в варианте \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \) константа \( c \) в \( \ln|cx| \) может быть связана с \( e \).

Рассмотрим вариант 4: \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \).

Продифференцируем по \( x \):

\[ \frac{1}{cx} \, (c) = e^{-\frac{y}{x}} \cdot \left( -\frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) \right) \]

\[ \frac{1}{x} = e^{-\frac{y}{x}} \cdot \left( -\frac{y'x - y}{x^2} \right) \]

\[ \frac{1}{x} = e^{-\frac{y}{x}} \cdot \left( \frac{y - y'x}{x^2} \right) \]

Умножим на \( x^2 \):

\[ x = e^{-\frac{y}{x}} (y - y'x) \]

Разделим на \( e^{-\frac{y}{x}} \):

\[ xe^{\frac{y}{x}} = y - y'x \]

\[ y'x = y - xe^{\frac{y}{x}} \]

Это уравнение отличается от исходного. В исходном уравнении \( e^{\frac{y}{x}} \) умножается на \( x \), а в нашем проверенном варианте \( e^{-\frac{y}{x}} \) умножается на \( x \).

Похоже, что в варианте 4 есть опечатка, и должно быть \( e^{\frac{y}{x}} \). Но если мы берем варианты как есть, то решение \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \) не соответствует ни одному из них. Однако, если мы представим \( C \) как \( \ln|c| \), то \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + \ln|c| = \ln|cx| \). Тогда \( -\frac{y}{x} = \ln(\ln|cx|) \), что также не совпадает.

Давайте пересмотрим интеграцию. \( -e^{-z} = -\ln|x| + C \). Умножим на \( -1 \).

\[ e^{-z} = \ln|x| - C \]

Сделаем замену \( C' = -C \). \( e^{-z} = \ln|x| + C' \). Это наш предыдущий результат.

Если взять \( \boldsymbol{ln|cx|} = \boldsymbol{e^{-\frac{y}{x}}} \), то при дифференцировании мы получили \( y'x = y - xe^{\frac{y}{x}} \), что отличается от исходного \( y'x = y - xe^{\frac{y}{x}} \). Значит, вариант 4 не подходит.

Проверим вариант 2: \( \ln|x| = ce^{\frac{y}{x}} \).

Дифференцируем по \( x \):

\[ \frac{1}{x} = c e^{\frac{y}{x}} \cdot \left( \frac{y'x - y}{x^2} \right) \]

\[ \frac{x^2}{cx} = e^{\frac{y}{x}} (y'x - y) \]

\[ \frac{x}{c} = e^{\frac{y}{x}} (y'x - y) \]

Далее не получается.

Вернемся к \( e^{-z} = \ln|x| + C \). Это означает \( z = -\ln(\ln|x| + C) \).

\( \frac{y}{x} = -\ln(\ln|x| + C) \).

\( y = -x \ln(\ln|x| + C) \).

Похоже, что один из вариантов должен быть правильным. Проверим еще раз интеграцию:

\[ \int e^{-z} dz = -e^{-z} + C_1 \]

\[ \int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x| + C_2 \]

\[ -e^{-z} + C_1 = -\ln|x| + C_2 \]

\[ e^{-z} = \ln|x| + (C_2 - C_1) \]

Пусть \( C = C_2 - C_1 \).

\[ e^{-z} = \ln|x| + C \]

Это результат, который мы получили ранее.

Если рассмотреть вариант \( \boldsymbol{\ln|cx|} = \boldsymbol{e^{-\frac{y}{x}}} \), то \( \boldsymbol{e^{\frac{y}{x}}} = \boldsymbol{\frac{1}{\ln|cx|}} \). Это не похоже на решение.

Рассмотрим вариант 2: \( \ln|x| = ce^{\frac{y}{x}} \). Это также не похоже.

Рассмотрим вариант 1: \( c \ln|x| = e^{-\frac{y}{x}} \). Это наиболее близко к \( e^{-z} = \ln|x| + C \) если \( c \) — константа. Если \( c=1 \), то \( \ln|x| = e^{-\frac{y}{x}} \). Это значит \( -\frac{y}{x} = \ln(\ln|x|) \) или \( \frac{y}{x} = -\ln(\ln|x|) \). Это не совпадает с \( e^{-z} = \ln|x| + C \).

Проверим еще раз вариант 4: \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \).

Если \( e^{-\frac{y}{x}} = \boldsymbol{\ln|cx|} \) то \( -\frac{y}{x} = \boldsymbol{\ln(\ln|cx|)} \). \( \frac{y}{x} = -\ln(\ln|cx|) \).

Наш результат: \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \).

Если \( C = \ln|c| \), то \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + \ln|c| = \ln|cx| \).

Тогда \( -\frac{y}{x} = \ln(\ln|cx|) \).

И вариант 4: \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \). Это означает \( -\frac{y}{x} = \ln(\ln|cx|) \).

Значит, решение \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \) может быть записано как \( e^{-\frac{y}{x}} = \ln|cx| \) где \( C = \ln|c| \).

Следовательно, \( \boldsymbol{\ln|cx|} = \boldsymbol{e^{-\frac{y}{x}}} \) является правильным ответом.

Ответ:

1. \( \ln|cx| = e^{-\frac{y}{x}} \)