Решите 2 cos²(x) - 1 = 0 для 0 ≤ x < 2π

Решение:

Данное уравнение является тригонометрическим. Чтобы его решить, преобразуем его:

1. Из уравнения \( 2 \cos^2(x) - 1 = 0 \) выразим \( \cos^2(x) \): \( 2 \cos^2(x) = 1 \) \( \cos^2(x) = \frac{1}{2} \).
2. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( \cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). На промежутке \( [0, 2\pi) \) это справедливо для \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
• Случай 2: \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). На промежутке \( [0, 2\pi) \) это справедливо для \( x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) и \( x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).
4. Объединим все найденные решения: \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).