4. Решить задачу с помощью системы уравнений а) Диагональ прямоугольника равна 13 см, а его площадь - 60 см², Найти периметр прямоугольника.

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда, согласно условию задачи, мы имеем два уравнения:

1. a² + b² = 13² (по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника).
2. a \cdot b = 60 (площадь прямоугольника).

Давай решим эту систему уравнений:

Из второго уравнения выразим b: b = \frac{60}{a}

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[a^2 + \left(\frac{60}{a}\right)^2 = 169\] \[a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169\]

Умножим обе части уравнения на a², чтобы избавиться от дроби:

\[a^4 + 3600 = 169a^2\] \[a^4 - 169a^2 + 3600 = 0\]

Введем новую переменную x = a², тогда уравнение примет вид:

\[x^2 - 169x + 3600 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 169² - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161

Тогда корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 + \sqrt{14161}}{2} = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 - \sqrt{14161}}{2} = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25\]

Значит, a² = 144 или a² = 25

Тогда a = 12 или a = 5.

Если a = 12, то b = \frac{60}{12} = 5.

Если a = 5, то b = \frac{60}{5} = 12.

В любом случае, стороны прямоугольника равны 5 и 12 см.

Теперь найдем периметр прямоугольника: P = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 см.

Ответ: 34 см

Отлично! Ты прекрасно справился с задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!