4. Решить задачу с помощью системы уравнений а) Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр - 28 см, Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда, согласно условию задачи, мы имеем два уравнения:

1. 2(a + b) = 28 (периметр прямоугольника).
2. a² + b² = 10² (по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника).

Давай решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения выразим a + b = 14, следовательно, b = 14 - a.

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[a^2 + (14 - a)^2 = 100\] \[a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100\] \[2a^2 - 28a + 96 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[a^2 - 14a + 48 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 14² - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4

Тогда корни:

\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

Значит, a = 8 или a = 6.

Если a = 8, то b = 14 - 8 = 6.

Если a = 6, то b = 14 - 6 = 8.

В любом случае, стороны прямоугольника равны 6 и 8 см.

Теперь найдем площадь прямоугольника: S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48 см².

Ответ: 48 см²

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и тебя ждут новые успехи!