Решить задачу о скорости теплохода.

Пусть собственная скорость теплохода равна \(v\) км/ч. Скорость течения реки равна 6,5 км/ч. Время, затраченное на движение против течения, составит \( \frac{4}{v-6,5} \), а по течению — \( \frac{33}{v+6,5} \). Суммарное время равно 1 часу: \[ \frac{4}{v-6,5} + \frac{33}{v+6,5} = 1. \] Преобразуем уравнение: \[ 4(v+6,5) + 33(v-6,5) = (v-6,5)(v+6,5). \] Раскрыв скобки, получим: \[ 4v + 26 + 33v - 214,5 = v^2 - 42,25. \] \[ v^2 - 37v - 42,25 - 188,5 = 0. \] \[ v^2 - 37v - 230,75 = 0. \] Решая квадратное уравнение: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] \[ v = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 + 4 \cdot 230,75}}{2}. \] \[ v = \frac{37 \pm \sqrt{1687,25}}{2}. \] \[ v = \frac{37 \pm 41}{2}. \] \[ v = 39 \text{ (принимаем положительное значение)}. \] Таким образом, собственная скорость теплохода равна 39 км/ч.