2. Решить задачу. Из точки, удаленной на расстояние 12 см от плоскости проведенные две наклонные к этой плоскости длиной 13 см и 20 см. Расстояние между основаниями наклонных равно 19 см. Найдите угол между проекциями этих наклонных.

Пусть дана точка А, из которой проведены две наклонные АВ и АС к плоскости α. Расстояние от точки А до плоскости α равно AD = 12 см. Длина наклонной АВ = 13 см, длина наклонной АС = 20 см. Расстояние между основаниями наклонных (точки В и С) равно 19 см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD. По теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$ $$ BD^2 = AB^2 - AD^2 $$ $$ BD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 $$ $$ BD = \sqrt{25} = 5 \text{ см} $$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АCD. По теореме Пифагора:

$$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $$ $$ CD^2 = AC^2 - AD^2 $$ $$ CD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256 $$ $$ CD = \sqrt{256} = 16 \text{ см} $$

3. Рассмотрим треугольник BDC, где BD = 5 см, CD = 16 см, BC = 19 см. Пусть угол BDC = α. По теореме косинусов:

$$ BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos{α} $$ $$ \cos{α} = \frac{BD^2 + CD^2 - BC^2}{2 \cdot BD \cdot CD} $$ $$ \cos{α} = \frac{5^2 + 16^2 - 19^2}{2 \cdot 5 \cdot 16} = \frac{25 + 256 - 361}{160} = \frac{-80}{160} = -\frac{1}{2} $$ $$ α = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ $$

Ответ: 120°