7.10. Решить уравнения: a) ∫ dx / (√2 x√(x²-1)) = π/12 б) ∫ dx / (ln2 √(e^x-1)) = π/6

a) ∫ dx / (√2 x√(x²-1)) = π/12

Смотри, тут всё просто: этот интеграл решается с помощью замены переменной и знания табличных интегралов.

Шаг 1: Преобразуем интеграл:

Вынесем константу из-под знака интеграла:

<\[\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \frac{\pi}{12}\]

Шаг 2: Вспоминаем табличный интеграл:

<\[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \arccos{\frac{1}{x}} + C\]

Шаг 3: Применяем табличный интеграл:

<\[\frac{1}{\sqrt{2}} \arccos{\frac{1}{x}} \Big|_\sqrt{2}^x = \frac{\pi}{12}\]

Шаг 4: Вычисляем значение арккосинуса:

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

<\[\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \arccos{\frac{1}{x}} - \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right) = \frac{\pi}{12}\]

<\[\arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{4}\]

<\[\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \arccos{\frac{1}{x}} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{12}\]

Шаг 5: Решаем уравнение относительно \( x \):

Умножаем обе части на \( \sqrt{2} \):

<\[\arccos{\frac{1}{x}} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \sqrt{2}\]

<\[\arccos{\frac{1}{x}} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \sqrt{2}\]

<\[\frac{1}{x} = \cos{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \sqrt{2} \right)}\]

<\[x = \frac{1}{\cos{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \sqrt{2} \right)}}\]

Ответ: <\[x = \frac{1}{\cos{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \sqrt{2} \right)}}\]

б) ∫ dx / (ln2 √(e^x-1)) = π/6

Разбираемся: и этот интеграл тоже решается с помощью замены переменной.

Шаг 1: Преобразуем интеграл:

Вынесем константу из-под знака интеграла:

<\[\frac{1}{\ln{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}} = \frac{\pi}{6}\]

Шаг 2: Делаем замену переменной:

Пусть \( t = \sqrt{e^x - 1} \), тогда \( t^2 = e^x - 1 \), \( e^x = t^2 + 1 \), \( x = \ln{(t^2 + 1)} \), \( dx = \frac{2t}{t^2 + 1} dt \)

Шаг 3: Подставляем замену в интеграл:

<\[\frac{1}{\ln{2}} \int \frac{\frac{2t}{t^2 + 1}}{t} dt = \frac{\pi}{6}\]

<\[\frac{2}{\ln{2}} \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \frac{\pi}{6}\]

Шаг 4: Вспоминаем табличный интеграл:

<\[\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan{x} + C\]

Шаг 5: Применяем табличный интеграл:

<\[\frac{2}{\ln{2}} \arctan{t} \Big|_\ln{2}^x = \frac{\pi}{6}\]

Шаг 6: Вычисляем значение арктангенса:

Возвращаемся к исходной переменной \( x \):

<\[\frac{2}{\ln{2}} \left( \arctan{\sqrt{e^x - 1}} - \arctan{\sqrt{e^{\ln{2}} - 1}} \right) = \frac{\pi}{6}\]

<\[\arctan{\sqrt{e^{\ln{2}} - 1}} = \arctan{\sqrt{2 - 1}} = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}\]

<\[\frac{2}{\ln{2}} \left( \arctan{\sqrt{e^x - 1}} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{6}\]

Шаг 7: Решаем уравнение относительно \( x \):

Умножаем обе части на \( \frac{\ln{2}}{2} \):

<\[\arctan{\sqrt{e^x - 1}} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \ln{2}\]

<\[\arctan{\sqrt{e^x - 1}} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2}\]

<\[\sqrt{e^x - 1} = \tan{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2} \right)}\]

<\[e^x - 1 = \tan^2{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2} \right)}\]

<\[e^x = 1 + \tan^2{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2} \right)}\]

<\[x = \ln{\left( 1 + \tan^2{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2} \right)} \right)}\]

Ответ: <\[x = \ln{\left( 1 + \tan^2{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} \ln{2} \right)} \right)}\]