Решить уравнения: 1. cos²x = 2. 3 - 4 sin²x - sinx - 2 = 0 2 - 3. sin²x 3cosx = 0 4. sinx cosx = 0 - 5. sinx + cosx = √2

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решаем каждое тригонометрическое уравнение пошагово, применяя известные формулы и методы.

Шаг 1: Извлечение квадратного корня.
\[cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Шаг 2: Решение для каждого случая.
- \[cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
- \[cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 1: Замена переменной: пусть t = sinx, тогда уравнение принимает вид:
\[t^2 - t - 2 = 0\]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения.
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

\[t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\]
Шаг 3: Возврат к исходной переменной.
- \[sin x = 2\] - не имеет решений, так как \[|sin x| \le 1\]
- \[sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 1: Преобразование уравнения, используя основное тригонометрическое тождество \[sin^2x + cos^2x = 1\]
\[1 - cos^2x - 3cosx = 0\]

\[cos^2x + 3cosx - 1 = 0\]
Шаг 2: Замена переменной: пусть t = cosx.
\[t^2 + 3t - 1 = 0\]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13\]

\[t_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \quad t_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\]
Шаг 4: Возврат к исходной переменной.
- \[cos x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \Rightarrow x = \pm arccos(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
- \[cos x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\] - не имеет решений, так как \[|cos x| \le 1\]

Ответ: \[x = \pm arccos(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 1: Преобразование уравнения.
\[sin x = cos x\]
Шаг 2: Деление обеих частей на cosx (при условии, что cosx ≠ 0).
\[\frac{sin x}{cos x} = 1\]

\[tan x = 1\]
Шаг 3: Решение уравнения.
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на √2.
\[\frac{1}{\sqrt{2}}sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos x = 1\]
Шаг 2: Заметим, что \[\frac{1}{\sqrt{2}} = cos(\frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})\]
\[cos(\frac{\pi}{4})sin x + sin(\frac{\pi}{4})cos x = 1\]
Шаг 3: Применим формулу синуса суммы.
\[sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1\]
Шаг 4: Решение уравнения.
\[x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]