Решить уравнения: 458. y'' - 2y' - 3y = 0. 459. y''' - 5y'' + 6y' = 0. 460. y(4) - y = 0. 461. y''' - 5y'' + 8y' - 4y = 0. 462. a) y(4) + 2y'' + y = 0; 6) y'' + 3y' - 4y = 0.

Решение:

458. y'' - 2y' - 3y = 0.

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 2r - 3 = 0 \).

Корни: \( r_1 = 3 \), \( r_2 = -1 \).

Общее решение: \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} \).

459. y''' - 5y'' + 6y' = 0.

Вынесем \( y' \) за скобки: \( y'(y'' - 5y' + 6) = 0 \>.

Характеристическое уравнение: \( r(r^2 - 5r + 6) = 0 \>.

Корни: \( r_1 = 0 \), \( r_2 = 2 \), \( r_3 = 3 \>.

Общее решение: \( y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x} \>.

460. y(4) - y = 0.

Характеристическое уравнение: \( r^4 - 1 = 0 \>.

Корни: \( r_1 = 1 \), \( r_2 = -1 \), \( r_3 = i \), \( r_4 = -i \>.

Общее решение: \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 sin(x) + C_4 cos(x) \>.

461. y''' - 5y'' + 8y' - 4y = 0.

Характеристическое уравнение: \( r^3 - 5r^2 + 8r - 4 = 0 \>.

Корни: \( r_1 = 1 \), \( r_2 = 2 \) (кратности 2).

Общее решение: \( y = C_1 e^x + (C_2 + C_3 x) e^{2x} \>.

462. a) y(4) + 2y'' + y = 0; 6) y'' + 3y' - 4y = 0.

a) y(4) + 2y'' + y = 0.

Характеристическое уравнение: \( r^4 + 2r^2 + 1 = 0 \>.

\( (r^2 + 1)^2 = 0 \>.

Корни: \( r = sin(x) \) (кратности 2).

Общее решение: \( y = (C_1 + C_2 x)sin(x) + (C_3 + C_4 x)cos(x) \>.

6) y'' + 3y' - 4y = 0.

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 3r - 4 = 0 \>.

Корни: \( r_1 = 1 \), \( r_2 = -4 \>.

Общее решение: \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-4x} \>.