4. Решить уравнение: 1)log5(2x - 1) = 2 2)log2(x - 2) + log2x = 3 3) log8 x + log√2x = 14 5. Решить неравенство: 1)log(x - 5) > 1 3 2) (log3x)² - 2 log3 x ≤ 3

Привет! Давай решим эти уравнения и неравенства вместе. Будем идти шаг за шагом, и ты увидишь, как все просто.

4. Решить уравнение:

1) \(\log_5(2x - 1) = 2\)

Для начала, давай избавимся от логарифма. По определению логарифма, это значит, что \(5^2 = 2x - 1\).

Тогда у нас получается уравнение:

\[25 = 2x - 1\]

Решаем его:

\[2x = 26\] \[x = 13\]

Теперь проверим, подходит ли этот корень. Подставляем \(x = 13\) в исходное уравнение:

\[\log_5(2 \cdot 13 - 1) = \log_5(25) = 2\]

Все верно, корень подходит.

Ответ: \(x = 13\)

2) \(\log_2(x - 2) + \log_2 x = 3\)

Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\). Тогда уравнение можно переписать так:

\[\log_2((x - 2) \cdot x) = 3\]

Избавляемся от логарифма:

\[(x - 2)x = 2^3\] \[x^2 - 2x = 8\] \[x^2 - 2x - 8 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\).

Корни:

\[x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2\]

Проверяем корни. Для логарифма аргумент должен быть положительным. При \(x = -2\) это условие не выполняется, так как \(\log_2(-2)\) не существует. Проверяем \(x = 4\):

\[\log_2(4 - 2) + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3\]

Корень \(x = 4\) подходит.

Ответ: \(x = 4\)

3) \(\log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14\)

Приведем к одному основанию, например, 2. Вспомним, что \(8 = 2^3\) и \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\). Используем формулу \(\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x\).

\[\log_{2^3} x + \log_{2^{1/2}} x = 14\] \[\frac{1}{3} \log_2 x + 2 \log_2 x = 14\]

Пусть \(y = \log_2 x\). Тогда:

\[\frac{1}{3}y + 2y = 14\] \[\frac{7}{3}y = 14\] \[y = 6\]

Возвращаемся к \(x\):

\[\log_2 x = 6\] \[x = 2^6 = 64\]

Проверяем:

\[\log_8 64 + \log_{\sqrt{2}} 64 = \log_{2^3} 2^6 + \log_{2^{1/2}} 2^6 = \frac{6}{3} + \frac{6}{1/2} = 2 + 12 = 14\]

Корень подходит.

Ответ: \(x = 64\)

5. Решить неравенство:

1) \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 5) > 1\)

Основание логарифма меньше 1, поэтому, когда мы избавляемся от логарифма, знак неравенства меняется:

\[x - 5 < \left(\frac{1}{3}\right)^1\] \[x - 5 < \frac{1}{3}\] \[x < 5 + \frac{1}{3}\] \[x < \frac{16}{3}\]

Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным:

\[x - 5 > 0\] \[x > 5\]

Итак, \(5 < x < \frac{16}{3}\), или \(5 < x < 5\frac{1}{3}\).

Ответ: \(5 < x < \frac{16}{3}\)

2) \((\log_3 x)^2 - 2 \log_3 x \leq 3\)

Пусть \(y = \log_3 x\). Тогда неравенство принимает вид:

\[y^2 - 2y \leq 3\] \[y^2 - 2y - 3 \leq 0\]

Решаем квадратное уравнение \(y^2 - 2y - 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

Корни:

\[y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1\]

Значит, неравенство выполняется при \(-1 \leq y \leq 3\). Возвращаемся к \(x\):

\[-1 \leq \log_3 x \leq 3\]

Это означает:

\[3^{-1} \leq x \leq 3^3\] \[\frac{1}{3} \leq x \leq 27\]

Ответ: \(\frac{1}{3} \leq x \leq 27\)

Ответ: смотри выше^^