Решить уравнение: |x - 4| - |3 - 2x| = 1. В ответе указать больший корень уравнения

Решение:

Решим уравнение, используя метод интервалов. Найдём корни выражений под модулями:

• \( x - 4 = 0 \) \( \Rightarrow x = 4 \)
• \( 3 - 2x = 0 \) \( \Rightarrow 2x = 3 \) \( \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Эти корни разбивают числовую прямую на три промежутка:

1. \( x < 1.5 \)
2. \( 1.5 \leq x < 4 \)
3. \( x \geq 4 \)

Рассмотрим каждый случай:

1. При \( x < 1.5 \):

• \( x - 4 < 0 \) (значит, \( |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x \))
• \( 3 - 2x > 0 \) (значит, \( |3 - 2x| = 3 - 2x \))

Уравнение примет вид:

\( (4 - x) - (3 - 2x) = 1 \)

\( 4 - x - 3 + 2x = 1 \)

\( x + 1 = 1 \)

\( x = 0 \)

Значение \( x = 0 \) удовлетворяет условию \( x < 1.5 \).

2. При \( 1.5 \leq x < 4 \):

• \( x - 4 < 0 \) (значит, \( |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x \))
• \( 3 - 2x \leq 0 \) (значит, \( |3 - 2x| = -(3 - 2x) = 2x - 3 \))

Уравнение примет вид:

\( (4 - x) - (2x - 3) = 1 \)

\( 4 - x - 2x + 3 = 1 \)

\( -3x + 7 = 1 \)

\( -3x = 1 - 7 \)

\( -3x = -6 \)

\( x = 2 \)

Значение \( x = 2 \) удовлетворяет условию \( 1.5 \leq x < 4 \).

3. При \( x \geq 4 \):

• \( x - 4 \geq 0 \) (значит, \( |x - 4| = x - 4 \))
• \( 3 - 2x < 0 \) (значит, \( |3 - 2x| = -(3 - 2x) = 2x - 3 \))

Уравнение примет вид:

\( (x - 4) - (2x - 3) = 1 \)

\( x - 4 - 2x + 3 = 1 \)

\( -x - 1 = 1 \)

\( -x = 2 \)

\( x = -2 \)

Значение \( x = -2 \) не удовлетворяет условию \( x \geq 4 \).

Корнями уравнения являются \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Нужно указать больший корень.

Ответ: 2.