Решить уравнение: \(\frac{8}{y^2-4}+\frac{7}{y+2}=\frac{y}{y-2}\)

Решение:

1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели: \( y^2-4 = (y-2)(y+2) \), \( y+2 \), \( y-2 \). Общий знаменатель: \( (y-2)(y+2) \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, предварительно определив ОДЗ: \( y \neq 2 \) и \( y \neq -2 \).
3. \( 8 + 7(y-2) = y(y+2) \)
4. Раскроем скобки: \( 8 + 7y - 14 = y^2 + 2y \)
5. Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону: \( y^2 + 2y - 7y + 14 - 8 = 0 \)
6. \( y^2 - 5y + 6 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
8. Корни: \( y_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \).
9. Проверим корни по ОДЗ. \( y=2 \) не подходит, так как в этом случае знаменатель обращается в ноль. \( y=3 \) подходит.

Ответ: \( y=3 \)