Решить уравнение: \(\frac{2x-2}{x+3} - \frac{x+3}{3-x} = 5\)

Решение:

Чтобы решить уравнение, сначала приведём его к общему знаменателю. Обратите внимание, что \(3-x = -(x-3)\).

1. Умножим обе части уравнения на \( (x+3)(3-x) \), чтобы избавиться от знаменателей. Учтем, что \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).
2. \( (2x-2)(3-x) - (x+3)(x+3) = 5(x+3)(3-x) \)
3. Раскроем скобки:
4. \( (6x - 2x^2 - 6 + 2x) - (x^2 + 6x + 9) = 5(9 - x^2) \)
5. \( -2x^2 + 8x - 6 - x^2 - 6x - 9 = 45 - 5x^2 \)
6. Приведём подобные члены:
7. \( -3x^2 + 2x - 15 = 45 - 5x^2 \)
8. Перенесём все члены в одну сторону:
9. \( -3x^2 + 5x^2 + 2x - 15 - 45 = 0 \)
10. \( 2x^2 + 2x - 60 = 0 \)
11. Разделим всё уравнение на 2:
12. \( x^2 + x - 30 = 0 \)
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
14. Найдем корни:
15. \( x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
16. \( x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
17. Оба корня \( 5 \) и \( -6 \) не равны \( -3 \) или \( 3 \), поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: -6; 5.