Решить уравнение \(9^m+33^m=111^m\).

Если \(m\) — натуральное число, то при \(m\ge 1\):

\(9<111\) и \(33<111\), поэтому \(9^m<111^m\) и \(33^m<111^m\). Однако более точно:

\[9^m+33^m=111^m\left(\left(\frac{3}{37}\right)^m+\left(\frac{11}{37}\right)^m\right).\]

При \(m\ge1\) имеем

\[\left(\frac{3}{37}\right)^m+\left(\frac{11}{37}\right)^m\le\frac{3}{37}+\frac{11}{37}=\frac{14}{37}<1.\]

Следовательно, \(9^m+33^m<111^m\), и равенство невозможно.

Ответ: натуральных решений нет.