Решить системы уравнений: $$ \begin{cases} \frac{dy}{dx} = -y - 2z \\ \frac{dz}{dx} = 3y + 4z \end{cases} $$

Решение:

• Данная система является системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
• Для решения такой системы найдем собственные значения и собственные векторы матрицы коэффициентов.
• Матрица коэффициентов:

A = [[-1, -2], [3, 4]]

• Найдем характеристическое уравнение: det(A - \(\lambda\)I) = 0
• \[ \begin{vmatrix} -1-\lambda & -2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]
• \[ (-1-\lambda)(4-\lambda) - (-2)(3) = 0 \]
• \[ -4 + \lambda - 4\lambda + \lambda^2 + 6 = 0 \]
• \[ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение:
• \[ (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0 \]
• Собственные значения: \(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2\).
• Найдем собственные векторы.
• Для \(\lambda_1 = 1\):
• \[ (A - I)v_1 = 0 \]
• \[ \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
• Получаем уравнение \(-2x - 2y = 0\), откуда \(x = -y\).
• Собственный вектор \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).
• Для \(\lambda_2 = 2\):
• \[ (A - 2I)v_2 = 0 \]
• \[ \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
• Получаем уравнение \(-3x - 2y = 0\), откуда \(y = -\frac{3}{2}x\).
• Собственный вектор \(v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}\).
• Общее решение системы имеет вид:
• \[ \begin{pmatrix} y(x) \\ z(x) \end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 x} v_1 + C_2 e^{\lambda_2 x} v_2 \]
• \[ \begin{pmatrix} y(x) \\ z(x) \end{pmatrix} = C_1 e^{x} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + C_2 e^{2x} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \]
• Таким образом:
• \[ y(x) = C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x} \]
• \[ z(x) = -C_1 e^{x} - 3C_2 e^{2x} \]

Ответ:

• \[ y(x) = C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x} \]
• \[ z(x) = -C_1 e^{x} - 3C_2 e^{2x} \]