Решить систему уравнений: { |x + 1| + 2y = 1; x + y = 5 }

Решение:

Данная система уравнений:

\[ \begin{cases} |x + 1| + 2y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \( y \):

\[ y = 5 - x \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ |x + 1| + 2(5 - x) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ |x + 1| + 10 - 2x = 1 \]

Перенесём константу в правую часть:

\[ |x + 1| = 2x - 9 \]

Теперь рассмотрим два случая для модуля \( |x + 1| \).

Случай 1: \( x + 1 \ge 0 \) (то есть \( x \ge -1 \))

В этом случае \( |x + 1| = x + 1 \). Уравнение примет вид:

\[ x + 1 = 2x - 9 \]

Решим его:

\[ 1 + 9 = 2x - x \]

\[ x = 10 \]

Проверим условие \( x \ge -1 \). \( 10 \ge -1 \), условие выполняется. Найдём \( y \):

\[ y = 5 - x = 5 - 10 = -5 \]

Получили первое решение: \( (10; -5) \).

Случай 2: \( x + 1 < 0 \) (то есть \( x < -1 \))

В этом случае \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \). Уравнение примет вид:

\[ -x - 1 = 2x - 9 \]

Решим его:

\[ -1 + 9 = 2x + x \]

\[ 8 = 3x \]

\[ x = \frac{8}{3} \]

Проверим условие \( x < -1 \). \( \frac{8}{3} \approx 2.67 \), что больше \( -1 \). Таким образом, это значение \( x \) не удовлетворяет условию \( x < -1 \).

Следовательно, случай 2 не даёт решений.

Проверим найденное решение \( (10; -5) \) в исходной системе:

• Первое уравнение: \( |10 + 1| + 2(-5) = |11| - 10 = 11 - 10 = 1 \). Верно.
• Второе уравнение: \( 10 + (-5) = 10 - 5 = 5 \). Верно.

Ответ: (10; -5).