Решить систему уравнений (493-497). 493. 1) [y = x + 6, x²-4y = -3; 3) x + 2y = 1, (x + y² = 4; 494. 1) x² + xy = 2, y-3x = 7; 3) x + y = 1, x² + y² = 5; 495.1) (x + y = 5, xy = 6; 496.1) x - y = 7, x² - y² = 14; 3) x² - y² = 24, x + y = 4; 2) [x = 2 - y, y² + x = 32; 4) y - 3x = 2, (x² - 2y = 3. 2) [x² - xy - y² = 19, (x - y = 7; 4) [x² + y² = 17, x - y = 3. 2) (xy = 7, 3) (x + y = 12, (x + y = 8; (xy = 11; 2) fx + y = 3, (x² – y² = 15; 2 4) [x2 − y² = 8, [x - y = 2.

493.1)

\( \begin{cases} y = x + 6, \\ x^2 - 4y = -3 \end{cases} \)

Подставим первое уравнение во второе:

\(x^2 - 4(x + 6) = -3\) \(x^2 - 4x - 24 = -3\) \(x^2 - 4x - 21 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\) \(x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7\) \(x_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3\)

Находим соответствующие значения y:

\(y_1 = 7 + 6 = 13\) \(y_2 = -3 + 6 = 3\)

Ответ: (7, 13), (-3, 3)

493.3)

\( \begin{cases} x + 2y = 1, \\ x + y^2 = 4 \end{cases} \)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 1 - 2y\)

Подставим во второе уравнение:

\(1 - 2y + y^2 = 4\) \(y^2 - 2y - 3 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\) \(y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\) \(y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Находим соответствующие значения x:

\(x_1 = 1 - 2(3) = -5\) \(x_2 = 1 - 2(-1) = 3\)

Ответ: (-5, 3), (3, -1)

494.1)

\( \begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y - 3x = 7 \end{cases} \)

Выразим y из второго уравнения: \(y = 3x + 7\)

Подставим в первое уравнение:

\(x^2 + x(3x + 7) = 2\) \(x^2 + 3x^2 + 7x = 2\) \(4x^2 + 7x - 2 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = 7^2 - 4(4)(-2) = 49 + 32 = 81\) \(x_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{1}{4}\) \(x_2 = \frac{-7 - 9}{8} = -2\)

Находим соответствующие значения y:

\(y_1 = 3(\frac{1}{4}) + 7 = \frac{3}{4} + 7 = \frac{31}{4}\) \(y_2 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1\)

Ответ: (1/4, 31/4), (-2, 1)

494.3)

\( \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 1 - y\)

Подставим во второе уравнение:

\((1 - y)^2 + y^2 = 5\) \(1 - 2y + y^2 + y^2 = 5\) \(2y^2 - 2y - 4 = 0\) \(y^2 - y - 2 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\) \(y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\) \(y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

Находим соответствующие значения x:

\(x_1 = 1 - 2 = -1\) \(x_2 = 1 - (-1) = 2\)

Ответ: (-1, 2), (2, -1)

495.1)

\( \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6 \end{cases} \)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 5 - x\)

Подставим во второе уравнение:

\(x(5 - x) = 6\) \(5x - x^2 = 6\) \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\) \(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\)

Находим соответствующие значения y:

\(y_1 = 5 - 3 = 2\) \(y_2 = 5 - 2 = 3\)

Ответ: (3, 2), (2, 3)

496.1)

\( \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - y^2 = 14 \end{cases} \)

Разложим второе уравнение на множители: \((x - y)(x + y) = 14\)

Подставим первое уравнение во второе:

\(7(x + y) = 14\) \(x + y = 2\)

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} x - y = 7, \\ x + y = 2 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\(2x = 9\) \(x = \frac{9}{2} = 4.5\)

Найдем y:

\(y = 2 - x = 2 - 4.5 = -2.5\)

Ответ: (4.5, -2.5)

496.3)

\( \begin{cases} x^2 - y^2 = 24, \\ x + y = 4 \end{cases} \)

Разложим первое уравнение на множители: \((x - y)(x + y) = 24\)

Подставим второе уравнение в первое:

\((x - y) \cdot 4 = 24\) \(x - y = 6\)

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 6 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\(2x = 10\) \(x = 5\)

Найдем y:

\(y = 4 - x = 4 - 5 = -1\)

Ответ: (5, -1)