Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы: \(\begin{cases} x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 1 \\ 3x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 2 \\ 2x_1 + 6x_2 + x_3 = 0 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы, представим систему в виде матричного уравнения \( AX = B \), где:

• \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 3 & 7 & 2 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix} \) — матрица коэффициентов.
• \( X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) — вектор неизвестных.
• \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) — вектор свободных членов.

Решение находится по формуле \( X = A^{-1}B \), где \( A^{-1} \) — обратная матрица к матрице \( A \).

1. Найдём определитель матрицы A: \( \det(A) = 1(7 \cdot 1 - 2 \cdot 6) - 2(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (-4)(3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) \)
2. \( \det(A) = 1(7 - 12) - 2(3 - 4) - 4(18 - 14) \)
3. \( \det(A) = 1(-5) - 2(-1) - 4(4) \)
4. \( \det(A) = -5 + 2 - 16 = -19 \)

Так как \( \det(A) \neq 0 \), матрица \( A \) имеет обратную.

2. Найдём алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы:

• \( A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 1(7-12) = -5 \)
• \( A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(3-4) = 1 \)
• \( A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 1(18-14) = 4 \)
• \( A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = -1(2-(-24)) = -1(2+24) = -26 \)
• \( A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-(-8)) = 1(1+8) = 9 \)
• \( A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = -1(6-4) = -2 \)
• \( A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-(-28)) = 1(4+28) = 32 \)
• \( A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-(-12)) = -1(2+12) = -14 \)
• \( A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1(7-6) = 1 \)

3. Составим матрицу алгебраических дополнений:

• \( \begin{pmatrix} -5 & 1 & 4 \\ -26 & 9 & -2 \\ 32 & -14 & 1
  \end{pmatrix} \)

4. Найдём обратную матрицу, транспонировав матрицу алгебраических дополнений и разделив на определитель:

• \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \\ 1 & 9 & -14 \\ 4 & -2 & 1
  \end{pmatrix} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \\ 1 & 9 & -14 \\ 4 & -2 & 1
  \end{pmatrix} \)

5. Вычислим вектор неизвестных X: \( X = A^{-1}B \)

• \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \\ 1 & 9 & -14 \\ 4 & -2 & 1
  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0
  \end{pmatrix} \)
• \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -5 \cdot 1 + (-26) \cdot 2 + 32 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + (-14) \cdot 0 \\ 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 0
  \end{pmatrix} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -5 - 52 \\ 1 + 18 \\ 4 - 4
  \end{pmatrix} \)
• \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -57 \\ 19 \\ 0
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -57 / -19 \\ 19 / -19 \\ 0 / -19
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0
  \end{pmatrix} \)

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1, x₃ = 0.